Academic Journal
Численный анализ ветвлений решения задачи Хеле-Шоу о стационарно движущемся пузыре
| Title: | Численный анализ ветвлений решения задачи Хеле-Шоу о стационарно движущемся пузыре |
|---|---|
| Source: | Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. |
| Publisher Information: | Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет», 2012. |
| Publication Year: | 2012 |
| Subject Terms: | ЗАДАЧА ХЕЛЕ-ШОУ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ, ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ, СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПУЗЫРЯ, ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД |
| Description: | It is well known that a free boundary problem for the bubble steady motion in a Hele-Shaw cell is nonregular in the limit of zero surface tension. Through this nonregularity a degeneracy of the solution appears: for a given area of the bubble P.G.Saffman and G.I.Taylor found a family of exact solutions. S.Tanveer showed that the solution degeneracy is removed by taking into account the effect of surface tension, but he gave no clear mathematical explanation for such removal. In addition, S.Tanveer found several branches of the bubble solution. To find all solution branches, we have defined a modified Hele-Shaw problem by analogy with J.-M.Vanden-Broeck's approach to the problem of steady fingers. Numerical solution of this modified problem has been found. A unique solution has been obtained for a given area of the bubble. This solution coincides with the main branch of S.Tanveer's solution. No other solution branches have been found. An explanation for this disagreement is that S.~Tanveer's solutions may include the nonunivalent physical plane, while we have found only univalent solutions. In this paper we give a clear explanation for the reasons of the degeneracy removal when surface tension is introduced. In the physical plane the flow domain has two characteristic points: at infinity on the left and at infinity on the right, at which the domain width is assigned. Both these values have to be defined by single integration of the main boundary equation. With only one integration constant the two conditions cannot be satisfied because the bubble contour shape has no fore and aft symmetry. Thus a solvability condition appears. Для стационарной задачи о продвижении пузыря в лотке Хеле-Шоу одно из проявлений нерегулярности предела исчезающе малых капиллярных сил состоит в вырождении решения - для идеализированной задачи вместо ожидаемого единственного решения получается целое семейство. С помощью численного анализа С.Танвир (S.Tanveer) показал, что учет капиллярных сил устраняет вырожденность решения, но не дал этому ясного объяснения. Кроме того, помимо главной ветви решения С.Танвир получил и другие. С целью выявления всех ветвей решения задачи о продвижении пузыря в настоящей работе сформулирована модифицированная задача по аналогии с подходом Ж.-М.Ванден-Брека (J.-M.Vanden-Broeck) к задаче о продвижении пальца. Проведен ее численный анализ, который показал, что в постановке с заданной площадью пузыря решение задачи единственно и совпадает с главной ветвью, полученной С.Танвиром. Никаких других ветвей решения не выявлено. Такое несогласование с результатами С.Танвира можно объяснить тем обстоятельством, что его методика допускает решения с неоднолистностью физической плоскости. Дано также объяснение факту устранения вырождения решения: у области течения имеется две характерные точки - бесконечности слева и справа, в которых область имеет заданные размеры. Обе эти величины определяются однократным интегрированием основного граничного уравнения. Поскольку решения неидеализированной задачи не могут быть симметричны относительно вертикальной оси, удовлетворить оба условия с помощью одной константы интегрирования невозможно. Возникает условие разрешимости. |
| Document Type: | Article |
| File Description: | text/html |
| Language: | Russian |
| ISSN: | 2500-2198 2541-7746 |
| Access URL: | http://cyberleninka.ru/article/n/chislennyy-analiz-vetvleniy-resheniya-zadachi-hele-shou-o-statsionarno-dvizhuschemsya-puzyre http://cyberleninka.ru/article_covers/15401096.png |
| Accession Number: | edsair.od......2806..ffdebe42b62f1689d7680c96e350b49e |
| Database: | OpenAIRE |
| ISSN: | 25002198 25417746 |
|---|