Academic Journal
Методика выполнения базовых немодульных операций в модулярной арифметике с применением интервальных позиционных характеристик
| Τίτλος: | Методика выполнения базовых немодульных операций в модулярной арифметике с применением интервальных позиционных характеристик |
|---|---|
| Πηγή: | Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. |
| Στοιχεία εκδότη: | Государственное образовательное учреждение высшего образования «Пензенский государственный университет», 2013. |
| Έτος έκδοσης: | 2013 |
| Θεματικοί όροι: | СИСТЕМА ОСТАТОЧНЫХ КЛАССОВ, НЕМОДУЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ, СРАВНЕНИЕ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКА, КОНТРОЛЬ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ, ИНТЕРВАЛЬНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, ИНТЕРВАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ |
| Περιγραφή: | Актуальность и цели. Системы остаточных классов (СОК) и модулярная арифметика обеспечивают возможность независимой обработки отдельных разрядов чисел и находят свое применение во многих стратегически важных областях науки, таких как криптография, цифровая обработка сигналов, высокоточные вычисления и пр. Известно, что основной проблемой эффективного использования СОК является сложность выполнения немодульных операций, требующих оценки позиционной величины модулярных чисел. Целью данной работы является теоретическое обоснование новой методики выполнения базовых немодульных операций в модулярной арифметике (сравнение, определение знака и контроль переполнения), основанной на вычислении и анализе интервальных позиционных характеристик модулярных чисел. Предлагаемая методика отличается своей простотой и позволяет асимптотически быстро получить достоверную оценку относительной позиционной величины модулярного числа. Материалы и методы. Для решения задачи эффективного определения относительной позиционной величины числа, представленного в системе остаточных классов, использовались следствия Китайской теоремы об остатках. Для обеспечения достоверности результатов выполняемых немодульных операций использованы основные положения интервального анализа. Результаты. Предложена новая методика выполнения немодульных операций сравнения, определения знака и контроля переполнения допустимого диапазона чисел в системах остаточных классов, основанная на вычислении и анализе интервальных позиционных характеристик модулярных чисел. Определены формальные условия корректного выполнения немодульных операций с использованием предложенного метода. Выполнен анализ трудоемкости вычисления интервальных характеристик. Получена вероятностная оценка пересечения интервальных характеристик двух модулярных чисел, приводящего к нарушению достаточных условий корректности немодульных операций. Выводы. Операции сравнения, определения знака и контроля переполнения чисел в СОК могут быть достоверно выполнены с использованием методики оценки интервальных позиционных характеристик модулярных чисел за линейное время при последовательной реализации вычислений и логарифмическое – при параллельной. При этом не требуется больших аппаратных затрат. В отдельных случаях интервальные характеристики не позволяют однозначно определить результат немодульной операции. Вероятность возникновения таких случаев составляет, где k – количество разрядов, отведенных для представления дробной части границ интервальных характеристик, а n – количество модулей СОК. Background. Residue Number Systems (RNS) and modular arithmetic enable independent processing of individual bits of numbers and find their application in many strategically important areas of science, such as cryptography, digital signal processing, high-precision calculations, etc. It is known that the main problem of the efficient use of RNS is the complexity of non-modular operations that require assessement of the positional values of modular numbers. The purpose of the study is a theoretical and scientific grounding of a new method of basic non-modular operations in modular arithmetic (comparison, sign determination, overflow detection), which is based on the calculation and analysis of interval positional characteristics of modular numbers. This method is characterized by its simplicity and allows to get reliable evaluation of the relative positional magnitude of a modular number asymptotically fast. Materials and methods. To solve the problem of the effective defenition of the relative positional value of a number represented in the residue number system, the Chinese Remainder Theorem has been used. The reliability of results of non-modular operations is proved by the fundamentals of Interval Analysis. Results. A new method of the definition of non-modular comparisons in residue number systems, sign determination and overflow detection based on the calculation and analysis of interval characteristics of modular numbers has been suggested. The formal conditions for the correct execution of non-modular operations using the proposed method have been identified. The analysis of the complexity of the interval characteristics calculation has been fulfilled. A probabilistic evaluation for the intersection of interval characteristics of two modular numbers, which leads to the violation of sufficient conditions for the correctness of non-modular operations, has been obtained. Conclusions. Comparison, sign determination and overflow detection operations in RNS can be reliably performed using the proposed interval positional characteristics evaluation technique in linear time for the sequential computations and logarithmic – in parallel. The proposed method does not require high hardware cost. In some cases, the interval positional characteristics do not enable to determine the result of the non-modular operation. The probability of occurrence of such cases is, where k is a count of bits to represent the fractional part of boundary interval characteristic, n is count of RNS modules. |
| Τύπος εγγράφου: | Article |
| Περιγραφή αρχείου: | text/html |
| Γλώσσα: | Russian |
| ISSN: | 2072-3059 |
| Σύνδεσμος πρόσβασης: | http://cyberleninka.ru/article_covers/15556894.png http://cyberleninka.ru/article/n/metodika-vypolneniya-bazovyh-nemodulnyh-operatsiy-v-modulyarnoy-arifmetike-s-primeneniem-intervalnyh-pozitsionnyh-harakteristik |
| Αριθμός Καταχώρησης: | edsair.od......2806..852ff789d4b040e2b8b3b8826786faba |
| Βάση Δεδομένων: | OpenAIRE |
| ISSN: | 20723059 |
|---|