Βάσεις για διανυσματικούς χώρους στη ZF θεωρία συνόλων
Το Αξίωμα της Επιλογής (AC) λόγω του μη κατασκευαστικού του χαρακτήρα έχει δεχθεί έντονη κριτική από πολλούς μαθηματικούς. Παρόλη την διαμάχη γύρω από το αξίωμα αυτό, σήμερα είναι αποδεκτό και χρησιμοποιείται από τους περισσότερους μαθηματικούς. Υπάρχουν πολλές σημαντικές προτάσεις σχεδόν σε όλους τ...
Αποθηκεύτηκε σε:
| Περίληψη: | Το Αξίωμα της Επιλογής (AC) λόγω του μη κατασκευαστικού του χαρακτήρα έχει δεχθεί έντονη κριτική από πολλούς μαθηματικούς. Παρόλη την διαμάχη γύρω από το αξίωμα αυτό, σήμερα είναι αποδεκτό και χρησιμοποιείται από τους περισσότερους μαθηματικούς. Υπάρχουν πολλές σημαντικές προτάσεις σχεδόν σε όλους τους κλάδους των θεωρητικών μαθηματικών, οι οποίες είναι ισοδύναμες είτε με το AC είτε με κάποια γνήσια ασθενέστερη μορφή του. Στην εργασία αυτή επικεντρωνόμαστε στις καταστροφές που προκύπτουν στην θεωρία των διανυσματικών χώρων άπειρης διάστασης, στην ZF θεωρία συνόλων, χωρίς το AC. Πέρα από την παρουσίαση των πολύ σημαντικών και γνωστών αποτελεσμάτων του A. Blass (Για κάθε σώμα F, κάθε διανυσματικός χώρος V επί του F έχει τουλάχιστον μια βάση, είναι ισοδύναμο με το AC) και του J.D. Halpern (Το Θεώρημα του Πρώτου Ιδεώδους συνεπάγεται ότι για κάθε διανυσματικό χώρο V, δύο οποιεσδήποτε βάσεις του είναι ισοπληθικές), παρουσιάζουμε δύο πρόσφατα αποτελέσματα των P. Howard και E. Ταχτσή, καθώς και της M. Morillon σχετικά με την συνολοθεωρητική ισχύ της ύπαρξης βάσεων επί συγκεκριμένων σωμάτων F. Μελετούμε επίσης, πρόσφατα αποτελέσματα σχετικά με την ύπαρξη μη μηδενικών γραμμικών συναρτησοειδών στην ZF θεωρία συνόλων χωρίς το AC. Μεταξύ άλλων, δίνουμε την απόδειξη του αποτελέσματος των P. Howard και Ε. Ταχτσή, ότι αν κάθε άλγεβρα του Boole έχει ένα πρώτο ιδεώδες, τότε κάθε διανυσματικός χώρος επί οποιουδήποτε πεπερασμένου σώματος έχει ένα μη μηδενικό γραμμικό συναρτησοειδές. Τέλος, παρουσιάζουμε την απόδειξη του P. Howard, ότι στην ZFA θεωρία συνόλων, η ύπαρξη ενός σώματος F, έτσι ώστε σε κάθε διανυσματικό χώρο V επί του F, κάθε σύνολο που παράγει τον V περιέχει μια βάση συνεπάγεται το AC. |
|---|