Ταξινόμηση πεπερασμένων ομάδων coxeter - Λυμπερίδης, Δημήτριος (2015)
Οι οµάδες είναι αλγεβρικά αντικείµενα που αναπαριστούν, µε µεγάλη ακρίβεια,γεωµετρικές κινήσεις και µετασχηµατισµούς. ΄Ενας από τους πιο συνηθισµένουςγεωµετρικούς µετασχηµατισµούς είναι οι ανακλάσεις ως προς υπερεπίπεδα. ∆η-λαδή κινήσεις που αϕήνουν αµετάβλητο το υπερεπίπεδο και στέλνουν τον ένανηµι-χώρο στον άλλον. ΄Αρα και οι οµάδες που παράγονται από ανακλάσεις είναισηµαντικές. Αυτές οι οµάδες ονοµάζονται οµάδες Coxeter, προς τιµή του πρώτουµαθηµατικού που τις µελέτησε συστηµατικά. Γεωµετρικά, φυσικά, είναι σηµαντι-κές γιατί περιγράϕουν συµµετρίες που εµϕανίζονται µε πολύ φυσικό τρόπο στηνµελέτη των χώρων. Αλγεβρικά, αποδείχτηκαν πολύ σηµαντικές γιατί έχουν πολύευχάριστες αλγεβρικές ιδιότητες και έτσι η µελέτη τους γίνεται πιο ϐατή.Σ΄ αυτήν την εργασία δίνουµε τους ϐασικούς ορισµούς για την κατασκευή τωνοµάδων ανάκλασης. Η ϐασική δοµή που ορίζουµε για την γεωµετρική µελέτητων οµάδων αυτών είναι οι ϱίζες, οι οποίες κωδικοποιούν τις ανακλάσεις, µε τονα προσδιορίσουν τα διανύσµατα κάθετα στα αναλλοίωτα επίπεδα που καθορίζουντις ανακλάσεις. Η πρώτη εϕαρµογή είναι η πλήρης περιγραϕή των στοιχείων τηςοµάδας και του µηχανισµού που απλοποιεί τα στοιχεία ως γινόµενο ανακλάσε-ων. Σαν ϐασική εϕαρµογή δίνουµε την ταξινόµηση των πεπερασµένων οµάδωνανάκλασης. Πιο συγκεκριµένα, δίνουµε έναν πίνακα που περιέχει όλες την ανά-γωγες οµάδες ανάκλασης. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε άλλη οµάδα ανάκλασης είναιγινόµενο αυτών των οµάδων.