Tαξινόμηση πεπερασμένων ομάδων τάξης μικρότερης ή ίσης του 16 - Τσάτσου, Χριστίνα - Δημήτριος (2015)
Κάθε περιοχή στα μαθηματικά έχει σαν σκοπό την ταξινόμηση των αντικειμένων που μελετά. ΄Ενα από τα πιο βασικά προβλήματα στην Θεωρία Ομάδων είναι η ταξινόμηση των ομάδων, μετά από ισομορφισμούς. Αυτό είναι θεμελιώδες στην Θεωρία Ομάδων γιατί δείχνει ποιές είναι ακριβώς οι ομάδες που εμφανίζονται σε κά- θε περίπτωση και τι ιδιότητες μπορεί να έχουν. Επίσης, περιορίζει την μελέτη των ιδιοτήτων των ομάδων στις συγκεκριμένες ομάδες που έχουμε ήδη χαρακτηρίσει. Είναι ευρέως γνωστό ότι η ταξινόμηση των πεπερασμένα παραγόμενων ομάδων δεν είναι εφικτή. Δηλαδή είναι ένα άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά. Αυτό προτείνει ότι ίσως μπορούμε να ταξινομήσουμε άλλες κατηγορίες ομάδων. Μ΄ αυτήν την λογική, πρώτα θεωρούμε τις πεπερασμένες ομάδες. Και φυσικά φαίνεται εφικτό να απαριθμήσουμε τις ομάδες συγκεκριμένης τάξης. Παρατηρούμε ότι για ορισμένους αριθμούς (τους πρώτους) υπάρχει μόνο μια ομάδα αυτής της τάξης. Αυτό προτείνει και το αντίθετο. Δηλαδή, όσο πιο πολλούς πρώτους διαιρέτες έχει ο αριθμός τόσο πιο δύσκολο θα είναι να προσδιορίσουμε όλες τις ομάδες αυτής της τάξης. Το βασικό εργαλεία που χρησιμοποιούνται είναι η Ταξινόμηση των Πεπερασμένων Αβελιανών Ομάδων και, για τις μη-αβελιανές ομάδες, τα θεωρήματα του Sylow. Αυτά τα θεωρήματα μας επιτρέπουν να καθορί- σουμε ότι οι ομάδες που μελετάμε έχουν υποοομάδες κάποιας συγκεκριμένης τάξης (δυνάμεις πρώτων αριθμών) και καθορίζουν τις ιδιότητες αυτών των ομάδων. Η ταξινόμηση γίνεται με το να θεωρήσουμε διάφορες περιπτώσεις που καθορίζουν πως οι διάφορες υποομάδες βρίσκονται μέσα στην κυρίως ομάδα. Η εργασία αυτή περιορίζεται στην ταξινόμηση των ομάδων τάξης μικρότερης ή ίσης του 16. Ο λόγος είναι είναι ότι ο 16 είναι ο πρώτος αριθμός όπου εμφανίζον- ται πολλές ομάδες σε σύγκριση με τους προηγούμενους. Φυσικά αυτό οφείλεται στο ότι ο 16 είναι μια δύναμη του 2. Παρατηρούμε ότι παρόμοια πολυπλοκότητα εμφανίζεται και στις ομάδες τάξης 8. Η επόμενη τάξη που έχει μεγαλύτερη πολυ- πλοκότητα είναι το 24. Η πιο πολύπλοκη δομή, για αριθμούς μικρότερους του 100, είναι οι ομάδες τάξης 72. Υπάρχουν 50 ομάδες αυτής της τάξης.