Μια εισαγωγή στο λογισμό στις επιφάνειες στον R3 - Παπανικολάου, Ξενοφών (2015)
Κύριος σκοπός αυτής της εργασίας είναι η εισαγωγή και μελέτη γεωμετρικών εννοιών στον R3.Χρησιμοποιούμε εργαλεία του Απειροστικού Λογισμού και της Γραμμικής Άλγεβρας ,εισάγουμε κάποιες από τις κύριες ιδέες της Διαφορικής Γεωμετρίας. Στο κεφάλαιο 1 ξεκινάμε με την έννοια του εφαπτόμενου διανύσματος του R3 και μετά ορίζουμε την έννοια του εφαπτόμενου χώρου και διανυσματικού πεδίου στον R3 . Στη συνέχεια δίνουμε τον ορισμό της παραγώγου κατά κατεύθυνσης και ορίζουμε την δράση ενός διανυσματικού πεδίου V πάνω σε μια συνάρτηση f. Στο τέλος του κεφαλαίου δίνουμε τον ορισμό της 1-μορφής και γενικά των διαφορικών μορφών στον R3 και κλείνουμε με τους ορισμούς του εξωτερικού γινομένου και της εξωτερικής παραγώγου. Στο κεφάλαιο 2 καθορίζουμε τι ακριβώς είναι μια επιφάνεια και δείχνουμε ότι κάθε επιφάνεια έχει το δικό της διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό, ανάλογο με το λογισμό του επιπέδου. Συγκεκριμένα ξεκινάμε δίνοντας τον ορισμό της επιφάνειας χρησιμοποιώντας την έννοια των συντεταγμενικών περιοχών. Ο ορισμός αυτός μπορεί να γενικευτεί εύκολα στην κλασσική έννοια της n-διάστασης πολαπλότητας. Στη συνέχεια δίνουμε κάποιες ιδιότητες των συντεταγμενικών περιοχών, επίσης τον ορισμό του εφαπτόμενου διανύσματος και του διανυσματικού πεδίου σε μια επιφάνεια. Ορίζουμε την 2-μορφή, δίνουμε τον ορισμό της εξωτερικού γινομένου και της εξωτερικής παραγώγου και ορίζουμε της εφαπτόμενη απεικόνιση μεταξύ των εφαπτόμενων χώρων. Στη συνέχεια μελετάμε την ολοκλήρωση των 1 και 2-μορφών σε επιφάνειες, χρησιμοποιώντας την έννοια της ανάκλησης. Τέλος φτάνουμε στο στόχο της εργασίας που είναι η διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος του Stokes.