Μέθοδοι ομογενοποίησης και εφαρμογές στην μαθηματική μοντελοποίηση
Σκοπός της παρούσας πτυχιακής εργασίας είναι η μελέτη της μεθόδου Ομογενοποίησης. Η μέθοδος αυτή δίνει την δυνατότητα προσέγγισης συστημάτων που ταλαντώνονται. Πριν όμως την αναπτύξουμε πρέπει πρώτα να μελετήσουμε μία μεγάλη κατηγορία μεθόδων, τις λεγόμενες μεθόδους διαταραχών, στις οποίες κατατάσσε...
Saved in:
| _version_ | 1828462700681756672 |
|---|---|
| author | Στείρου, Μαργιέττα Νικόλαος |
| author2 | Νικολόπουλος, Χρήστος |
| author_sort | Στείρου, Μαργιέττα Νικόλαος |
| collection | DSpace |
| description | Σκοπός της παρούσας πτυχιακής εργασίας είναι η μελέτη της μεθόδου Ομογενοποίησης. Η μέθοδος αυτή δίνει την δυνατότητα προσέγγισης συστημάτων που ταλαντώνονται. Πριν όμως την αναπτύξουμε πρέπει πρώτα να μελετήσουμε μία μεγάλη κατηγορία μεθόδων, τις λεγόμενες μεθόδους διαταραχών, στις οποίες κατατάσσεται και η μέθοδος της Ομογενοποίησης. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας θα παρουσιάσουμε τις μεθόδους διαταραχών. Αυτές οι μέθοδοι μας δίνουν την δυνατότητα επίλυσης μαθηματικών μοντέλων που δεν είναι δυνατόν να λυθούν με τη χρήση των αναλυτικών μεθόδων. Οι μέθοδοι διαταραχών κατατάσσονται στην κατηγορία των προσεγγιστικών μεθόδων. Μία μέθοδος διαταραχών μας επιτρέπει δηλαδή, να βρούμε μία προσεγγιστική λύση του προβλήματος, όταν οι εξισώσεις που το περιγράφουν περιέχουν μικρούς όρους, οι οποίοι εμφανίζονται επειδή η φυσική διαδικασία που περιγράφεται από το πρόβλημα περιέχει και φαινόμενα που έχουν μικρή επίδραση. Αρχικά παρουσιάζουμε την μέθοδο κανονικής διαταραχής καθώς και ένα μοντέλο, αυτό της κίνησης σε μέσο με μη γραμμική αντίσταση, το οποίο μας βοηθάει στην κατανόηση της μεθόδου. Καθώς προχωράμε στην μελέτη των μεθόδων αυτών, παρατηρούμε ότι η μέθοδος των κανονικών διαταραχών αντιμετωπίζει δυσκολίες, όταν, για παράδειγμα, σε κάποια προβλήματα έχουμε την εμφάνιση των αιώνιων όρων. Έτσι, εισάγουμε μεθόδους που μπορούν “ν’ αντιμετωπίσουν” τους αιώνιους όρους και ανήκουν στην κατηγορία των κανονικών διαταραχών. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε την μέθοδο Poincare-Lindstedt, για την οποία παραθέτουμε και το μοντέλο του μη γραμμικού ταλαντωτή. Επίσης κάνουμε λόγο για την μέθοδο των πολλαπλών κλιμάκων, η οποία αποτελεί μία γενίκευση της προηγούμενης. βέβαια υπάρχουν πολλές περιπτώσεις στις οποίες η άμεση εφαρμογή των μεθόδων των κανονικών διαταραχών αποτυγχάνει, και αυτό δεν οφείλεται μόνο στην ύπαρξη των αιώνιων όρων. Σε κάποια προβλήματα δεν μπορούμε να υπολογίσουμε με την σειρά διαταραχών ούτε καν τη συμπεριφορά του πρωτεύοντος όρου, επειδή το διαταραγμένο πρόβλημα έχει εντελώς διαφορετικό χαρακτήρα από το μη διαταραγμένο. Έτσι, παίρνουμε μία κατηγορία προβλημάτων συνήθων διαφορικών εξισώσεων που εμπεριέχουν οριακά στρώματα, δηλαδή παρουσιάζουν μια απότομη μεταβολή κοντά σε ένα σημείο του συνόρου τους. Σε περίπτωση ύπαρξης οριακού στρώματος αυτό πρέπει να προσδιοριστεί. Τότε ο όρος διαταραχής μηδενικής τάξης, που προκύπτει αν θέσουμε ε=0 στην εξίσωση, συνήθως μας δίνει μία καλή προσέγγιση εκτός του οριακού στρώματος. Επίσης, οφείλουμε να έχουμε υπόψη ότι οι εσωτερικές και εξωτερικές προσεγγίσεις πρέπει να συναρμοστούν με τέτοιο τρόπο ώστε η προσέγγιση που θα προκύψει να ισχύει ομοιόμορφα σε όλο το διάστημα που μας ενδιαφέρει.Στο επόμενο κεφάλαιο, μελετάμε αναλυτικά χαρακτηριστικές εξισώσεις με την μέθοδο του μέσου όρου και παραθέτουμε τις γραφικές παραστάσεις των προσεγγιστικών και αριθμητικών λύσεων των εξισώσεων. Αρχικά, μελετάμε την εξίσωση του Duffing. Μελετάμε επίσης την εξίσωση του γραμμικού αλλά και του αυτοδιεγερμένου ταλαντωτή, καθώς και τα συστήματα με κυβική και τετραγωνική μη γραμμικότητα. Έπειτα, παρουσιάζουμε την γενικευμένη μέθοδο του Μέσου Όρου και συγκρίνουμε τις λύσεις αυτών που βρέθηκαν στην μέθοδο πολλαπλών κλιμάκων και στην μέθοδο Poincare-Lindstedt, οι οποίες αναπτύχθηκαν στο πρώτο κεφάλαιο. Εν συνεχεία, παραθέτουμε την τεχνική Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky, η οποία αποτελεί μία παραλλαγή της γενικής μεθόδου Ομογενοποίησης, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια διαδικασία πολλαπλών κλιμάκων. Το κεφάλαιο αυτό, κλείνει με τα γενικά ασθενή μη γραμμικά συστήματα και τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις της εξίσωσης του Duffing με πρωτοβάθμιους και δευτεροβάθμιους συντονισμούς.Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζουμε ένα μοντέλο για την διάβρωση του σκυροδέματος. Το σύστημα αυτό είναι ένας συνδυασμός ημιγραμμικών εξισώσεων. Για να το μελετήσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο Ομογενοποίησης οπότε από ένα σύστημα εξισώσεων στη μικροκλίμακα θα πάρουμε ένα σύστημα στη μακροκλίμακα. Έπειτα, περιγράφουμε την γεωμετρία ενός τυπικού σωλήνα παρουσιάζοντας και το ανάλογο σχήμα και παραθέτουμε το μικρομοντέλο. Επικαλούμαστε φυσικούς και χημικούς μηχανισμούς που λαμβάνουμε υπόψη και τελικά καταγράφουμε τις εξισώσεις που μας εισάγουν στο μοντέλο. Τέλος, αφού κανονικοποιήσουμε τις εξισώσεις, εφαρμόζουμε την μέθοδο της Ομογενοποίησης και λαμβάνοντας υπόψη τη μικροδομή του υλικού, καταλήγουμε σε ένα σύστημα για τη μακροκλίμακα, το οποίο εν δυνάμει μπορεί να λυθεί αριθμητικά. |
| id | oai:hellanicus.lib.aegean.gr:11610-7996 |
| institution | Hellanicus |
| language | Greek |
| publishDate | 2015 |
| record_format | dspace |
| title | Μέθοδοι ομογενοποίησης και εφαρμογές στην μαθηματική μοντελοποίηση |
| topic | Ομογενοποίηση Ταλαντώση Averaging method Oscillation Homogenization (Differential equations)--Mathematical models Perturbation (Mathematics)--Mathematical models |
| url | https://vsmart.lib.aegean.gr/webopac/List.csp?SearchT1=%CE%A3%CF%84%CE%B5%CE%AF%CF%81%CE%BF%CF%85%2C+%CE%9C%CE%B1%CF%81%CE%B3%CE%B9%CE%AD%CF%84%CF%84%CE%B1&Index1=Keywordsbib&Database=1&SearchMethod=Find_1&SearchTerm1=%CE%A3%CF%84%CE%B5%CE%AF%CF%81%CE%BF%CF%85%2C+%CE%9C%CE%B1%CF%81%CE%B3%CE%B9%CE%AD%CF%84%CF%84%CE%B1&OpacLanguage=gre&Profile=Default&EncodedRequest=1*9F*9D*D0*F7*99*86*1D*D1*FD*85*8A*24*C2F9&EncodedQuery=1*9F*9D*D0*F7*99*86*1D*D1*FD*85*8A*24*C2F9&Source=SysQR&PageType=Start&PreviousList=RecordListFind&WebPageNr=1&NumberToRetrieve=50&WebAction=NewSearch&StartValue=0&RowRepeat=0&ExtraInfo=&SortIndex=Year&SortDirection=-1&Resource=&SavingIndicator=&RestrType=&RestrTerms=&RestrShowAll=&LinkToIndex= http://hdl.handle.net/11610/7996 |
| work_keys_str_mv | AT steiroumargiettanikolaos methodoiomogenopoiēsēskaiepharmogesstēnmathēmatikēmontelopoiēsē |