Εισαγωγή στην θεωρία μοντέλων: το θεώρημα ισομορισμού του Cantor - Αναγνώστου, Αριστοτέλης (2023)
Η Θεωρία Μοντέλων µελετά αφηρηµένες µαθηµατικές δοµές, όπως οι οµάδες, οι διατάξεις, οι τοπολογικοί χώροι, τα σώµατα, και τις ιδιότητες αυτών, µε την χρήση εργαλείων του πρωτοβάθµιου Κατηγορηµατικού Λογισµού. Για παϱάδειγµα, στην περίπτωση της ϑεωρίας των διατάξεων, ένα ϐασικό αποτέλεσµα της Θεωρίας Μοντέλων είναι ότι οποιεσδήποτε δύο πυκνές γραµµικές διατάξεις χωρίς άκρα ικανοποιούν τις ίδιες (πρωτοβάθµιες) ιδιότητες, οι οποίες είναι εκφράσιµες στην γλώσσα των διατάξεων. Ειδικότερα, καµία µαθηµατική ιδιότητα που διατυπώνεται µε την χρήση των ϐασικών λογικών συµβόλων και του συµβόλου της διάταξης δεν µπορεί να ξεχωρίσει την δοµή ⟨Q, <⟩ από την ⟨R, <⟩. ∆ύο τέτοιες δοµές τις ονοµάζουµε στοιχειωδώς ισοδύναµες. ΄Ενα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι ότι δύο αλγεβρικά κλειστά σώµατα ίδιας χαρακτηριστικής είναι στοιχειωδώς ισοδύναµα µεταξύ τους. Συνεπώς, στην ειδική περίπτωση που µας ενδιαφέρει το κατά πόσον µια (πρωτοβάθµια) πρόταση ισχύει στο σώµα των αλγεβρικών αριθµών µπορούµε κάλλιστα να την εξετάσουµε, ισοδύναµα, στο σώµα των µιγαδικών αριθµών, αλλά και το αντίστροφο. Ιστορικά η µελέτη της Θεωρίας Μοντέλων ξεκινάει στις αρχές του 20ου αιώνα µε ένα από τα πρώτα αποτελέσµατα της ϑεωρίας να εµφανίζεται στην δηµοσίευση του Leopold Löwenheim το 1915, το οποίο ήταν µια πρώιµη µορφή του γνωστού ϑεωρήµατος Löwenheim-Skolem (2.11). Η επιρροή του Alfred Tarski ήταν καθοριστική µέσω των διαφόρων σηµαντικών αποτελεσµάτων που έδωσε, µε σηµαντικότερο τον αυστηρό ορισµό της αλήθειας σε µια µαθηµατική δοµή. Τέλος το ϑεώρηµα Πληρότητας (2.3) του Gödel (1930) είναι ένας σηµαντικός πυλώνας της ϑεωρίας, αλλά και γενικότερα της Μαθηµατικής Λογικής. Με το πέρασµα των δεκαετιών, η Θεωρία Μοντέλων έχει εξελιχθεί σε µια πολύ πλούσια ϑεωρία µε εφαρµογές τόσο στη Μαθηµατική Λογική, όσο και σε άλλα µαθηµατικά πεδία όπως η ΄Αλγεβρα, η Ανάλυση και η Γεωµετρία. Εν γένει υπάρχουν δύο παραδοσιακά µοτίβα µελέτης: (i) Ξεκινάµε από µια συγκεκριµένη µαθηµατική δοµή, και χρησιµοποιώντας τεχνικές της Θεωρίας Μοντέλων, εξάγουµε νέες πληροφορίες για την δοµή και για τα σύνολα που ορίζονται σε αυτήν. (ii) Εξετάζουµε κάποιες (αξιωµατικές) ϑεωρίες µε µαθηµατικό ενδιαφέρον και αποδεικνύουµε γενικά δοµικά ϑεωρήµατα για τα µοντέλα τους, δηλαδή για τις µαθηµατικές δοµές στις οποίες ικανοποιούνται αυτά τα αξιώµατα. ΄Ενα παράδειγµα του πρώτου µοτίβου είναι η µελέτη της δοµής των πραγµατικών αριθµών και των ορίσιµων υποσυνόλων τους. Παραδείγµατα του δεύτερου µοτίβου αναφέρθηκαν παραπάνω. Στην παρούσα εργασία ϑα χρησιµοποιηθεί ο συνδυασµός και των δύο µοτίβων. Αφού γίνει µια σύντοµη αναφορά στα εργαλεία του πρωτοβάθµιου Κατηγορηµατικού Λογισµού, καϑώς και µια σύντοµη εισαγωγή στην Θεωρία Μοντέλων, ϑα καταλήξουµε στην παρουσίαση του Θεωρήµατος Ισοµορφισµού του Cantor, στην απόδειξη του µε την χρήση της µεθόδου «µπρος-πίσω» (Back-and-Forth method) και σε κάποια ϐασικά πορίσµατά του, όπως ότι η δοµή ⟨Q, <⟩ είναι στοιχειωδώς ισοδύναµη µε την ⟨R ,<⟩ .