Η θεωρία του Floquet για γραμμικά συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων με εφαρμογές - Θεολόγου, Γεώργιος (2023)
Σε αυτή την πτυχιακή εργασία, παρουσιάζουμε τη Θεωρία του Floquet η οποία αποτελεί μια αποτελεσματική μέθοδο επίλυσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με περιοδικούς συντελεστές. Η διατριβή συνδυάζει στοιχεία από διαφορετικούς κλάδους των Μαθηματικών, γεγονός που γίνεται αντιληπτό στο πρώτο κεφάλαιο όπου παραθέτουμε ορισμούς και θεωρήματα (με απόδειξη ή χωρίς) που είναι απαραίτητα στη μελέτη μας. Στο δεύτερο κεφάλαιο καλύπτουμε τη βασική θεωρία ομογενών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και αποδεικνύουμε το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης καθώς επίσης και μια πρόταση που μας επιτρέπει από μια δεδομένη λύση του συστήματος να κατασκευάσουμε μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση, τουλάχιστον για 2x2 πίνακες. Το τρίτο κεφάλαιο βρίσκεται στο επίκεντρο της θεωρίας και διαπραγματεύεται το Θεώρημα του Floquet το οποίο προσφέρει μια κανονική μορφή για κάθε θεμελιώδη πίνακα αυτών των περιοδικών συστημάτων και το Θεώρημα υποβιβασμού κατά Lyapunov το οποίο παρέχει ένα τρόπο μετατροπής ενός συστήματος με περιοδικούς συντελεστές σε ένα ισοδύναμο σύστημα με σταθερούς συντελεστές. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τις έννοιες των χαρακτηριστικών εκθετών Floquet και τους πολλαπλασιαστές τους, μελετάμε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο επιλύουμε δύο προβλήματα που βοηθούν στην κατανόηση του τρόπου εφαρμογής της προτεινόμενης μεθόδου. Πιο συγκεκριμένα, επιλύουμε ένα απλό 2x2 σύστημα και ακολούθως μελετάμε την συμπεριφορά των λύσεων μιας δευτεροτάξιας εξίσωσης ως προς την ευστάθεια της.