Υπερφίλτρα και εφαρμογές - Τσακάκος, Γρηγόριος-Ορέστης (2022)
Στα μαθηματικά ένα από τα προβλήματα που συναντάμε συχνά είναι να ορίσουμε έννοιες οι οποίες διαισθητικά μας είναι γνώριμες αλλά είναι δύσκολο να αποτυπωθούν αυστηρά. Μία από αυτές τις έννοιες είναι η έννοια του ̈μεγάλου ̈ την οποία οι μαθηματικοί έχουν βρει διάφορους τρόπους να την τυποποιήσουν. ́Ενας από αυτούς τους τρόπους είναι τα φίλτρα και κατ ́ επέκταση τα υπερφίλτρα. Τα υπερφίλτρα είναι συλλογές συνόλων των οποίων την ύπαρξη την απέδειξε ο Tarski το 1930. ́Οταν ορίζουμε ένα υπερφίλτρο το ορίζουμε πάντα ̈πάνω ̈ σε κάποιο σύνολο X και οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί μια συλλογή για να είναι υπερφίλτρο είναι 1) το X να ανήκει στη συλλογή ενώ το κενό όχι 2) αν έχουμε δύο σύνολα τα οποία ανήκουν στη συλλογή θα πρέπει να ανήκει και η τομή τους 3) αν κάποιο σύνολο ανήκει στην συλλογή τότε πρέπει και όλα τα υπερσύνολα του να ανήκουν 4) αν κάποιο σύνολο δεν ανήκει στη συλλογή τότε θα πρέπει να ανήκει το συμπλήρωμά του. Τα υπερφίλτρα, με τον καιρό, αποδείχθηκαν ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για τους μαθηματικούς καθώς η χρήση τους κάνει αρκετές αποδείξεις πολύ πιο σύντομες αν κάποιος γνωρίζει μερικά βασικά Θεωρήματα τους. Αν και πρόκειται για μία συνολοθεωρητική κατασκευή, τα υπερφίλτρα έχουν βρει εφαρμογές σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών όπως η Τοπολογία, όπου είναι πολύ σημαντικά στην απόδειξη του Θεωρήματος του Tychonoff, η Θεωρία Μοντέλων καθώς και πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών. Επίσης η χρήση τους είναι βασική σε έναν σύγχρονο κλάδο των μαθηματικών ο οποίος ξεκίνησε στα μέσα του 20ου αιώνα και λέγεται Nonstandar Analysis. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζουμε αναλυτικά την έννοια των υπερφίλτρων καθώς και μερικές ιδιότητες και εφαρμογές τους. Στο Κεφάλαιο 2 εισάγουμε την έννοια του υπερφίλτρου και δείχνουμε κάποιες στοιχειώδεις ιδιότητες που έχει η έννοια αυτή. Στο Κεφάλαιο 3 βλέπουμε τις εφαρμογές των υπερφίλτρων στον κλάδο της Τοπολογίας και πόσο πιο σύντομη γίνεται η απόδειξη του Θεωρήματος του Tychonoff όταν χρησιμοποιούμε τα υπερφίλτρα. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται οι αποδείξεις τριών θεωρημάτων της συνδυαστικής (Hindman, Ramsey, Arrow) με την βοήθεια των υπερφίλτρων καθως και εργαλείων από άλλους κλάδους όπως η Τοπολογία και η Άλγεβρα. Στο Κεφάλαιο 5 αναφερόμαστε σε κάποιες εφαρμογές των υπερφίλτρων στην Ανάλυση.