Συμφωνία κόμβων
Στην παρούσα πτυχιακή εργασία θα παρουσιάσουμε στοιχειώδη θέματα της Θεωρίας των Κόμβων. Θα ορίσουμε τις κλάσεις ισοτοπίας των διαγραμμάτων των κόμβων, που με πράξη το συνεκτικό άθροισμα το σύνολο αυτών ορίζει μονοειδές. Με την ίδια πράξη θα ορίσουμε την ομάδα των κόμβων. Αυτό επιτυγχάνεται με τον ο...
Αποθηκεύτηκε σε:
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Άλλοι συγγραφείς: | |
| Γλώσσα: | el_GR |
| Δημοσίευση: |
2022
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/11610/22791 |
| Ετικέτες: |
Προσθήκη ετικέτας
Δεν υπάρχουν, Καταχωρήστε ετικέτα πρώτοι!
|
| Περίληψη: | Στην παρούσα πτυχιακή εργασία θα παρουσιάσουμε στοιχειώδη θέματα της Θεωρίας των Κόμβων. Θα ορίσουμε τις κλάσεις ισοτοπίας των διαγραμμάτων των κόμβων, που με πράξη το συνεκτικό άθροισμα το σύνολο αυτών ορίζει μονοειδές. Με την ίδια πράξη θα ορίσουμε την ομάδα των κόμβων. Αυτό επιτυγχάνεται με τον ορισμό μίας σχέσης ισοδυναμίας, η σχέση concordance, δηλαδή η σχέση συμφωνίας. Σκοπός της μελέτης αυτής είναι να ανακαλύψουμε και να «αγγίξουμε» τη Θεωρία των Κόμβων, να εκτεθούμε στις βασικές της έννοιες και τεχνικές, που μπορούν να οδηγήσουν σε βαθύτερη κατανόηση και έρευνα μίας πολύ ενδιαφέρουσας και επίκαιρης θεωρίας που απαντάται σε διάφορους επιστημονικούς τομείς, εκτός των Μαθηματικών.
Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας αυτής θα δούμε τις βασικές έννοιες της Θεωρίας των Κόμβων. Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναφερόμαστε στις επιφάνειες χωρίς σύνορο αλλά και σε αυτές με σύνορο. Θα μελετήσουμε τις επιφάνειες Seifert, οι οποίες προκύπτουν με τον αλγόριθμο του Seifert ως επιφάνειες προσανατολίσιμες με σύνορο κόμβο. Μέσω αυτών, θα προκύψει ο ορισμός του γένους ενός κόμβου. Με τη βοήθεια του γένους και της διαδικασίας Surgery θα αποφανθούμε γιατί τελικά το σύνολο των κλάσεων ισοτοπίας των διαγραμμάτων των κόμβων είναι μονοειδές.
Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφουμε την κατασκευή του συνεκτικού άθροισματος στο σύνολο ισοτοπίας των διαγραμμάτων των κόμβων. Μέσω αυτού θα δώσουμε στο σύνολο των προσανατολισμένων κόμβων τη δομή μονοειδούς, δηλαδή τη δομή ημιομάδας με ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη που το διέπει. Στο τέταρτο κεφάλαιο ορίζουμε τους κόμβους slice. Η μελέτη τους γίνεται μέσω της υπογραφής του κόμβου και της πολυωνυμικής συνθήκης Alexander κατά Fox και Milnor. Ορίζουμε ως ταινίες slice κόμβων οι οποίες ορίζουν συμφωνία αυτών, όπως παρουσιάζουμε στο πέμπτο κεφάλαιο. Σε αυτό ορίζουμε ως σχέση ισοδυναμίας τη συμφωνία των κόμβων και το σύνολο των κλάσεων συμφωνίας των κόμβων καθίσταται ομάδα. Είναι η ομάδα cobordism ή concordance, δηλαδή η ομάδα συμφωνίας. |
|---|