Εισαγωγή στην ανάλυση fourier - τα θεωρήματα σύγκλισης - Τσεβάς, Σωτήριος (2021)
Η εργασία αναφέρεται στις σειρές Fourier και με ποιές προϋποθέσεις αυτές συγκλίνουν.Ξεκινάει με μια μικρή εισγωγή και τον ορισμό των τριγωνομετρικών πολυωνύμων καθώς και της μοναδικότητας τους. Ορίζονται οι συντελεστές Fourier και αποδυκνείεται η μοναδικότητα τους. Γίνεται μια ιστορική αναδρομή των ιδεών για την σύγκλιση και την συμπεριφορά των σειρών και των μερικών αθροισμάτων μιας σειράς Fourier. Υπάρχουν αναφορές στην συνέλιξη και στους καλούς πυρήνες . Βλέπουμε τι ρόλο παίζει η συνέλιξη στα μερικά αθροίσματα,στους όρους Abel και Cesaro. Αναφέρονται επίσης η Cesaro σύγκλιση, η Abel σύγκλιση και διάφορα παραδείγματα πάνω σε αυτά. Γίνεται μια ανάλυση στους πυρήνες Dirichlet, Fejer και Poisson. Βλέπουμε ποιοί πυρήνες και ποιές οικογένεις ανήκουν στους καλούς πυρήνες. Μετέπειτα, αναφερόμαστε στην μέση τετραγωνική σύγκλιση και την σύγκλιση κατά σημείο. Χρησιμοποιούνται πολλές έννοιες της συναρτησιακής ανάλυσης. Διανυσματικοί χώροι,εσωτερικό γινόμενο, χώροι Hilbert, πυθαγόρειο θεώρημα, η ανισότητα Cauchy-Schwartz και η τριγωνική ανισότητα. Για την καλύτερη κατανόηση υπάρχουν και παραδείγματα χώρων Hilbert. Επίσης γίνονται αναφορές και στο λήμμα Βέλτιστης-Προσέγγισης. Υπάρχουν αρκετές αποδείξεις σε λήμματα, παραδείγματα και θεωρήματα. Ακόμα, υπάρχουν και 2 εφαρμογές. Η ισοπεριμετρική ανισότητα και μια συνάρτηση που να είναι συνεχής αλλά πουθενά διαφορίσιμη. Για την απόδειξη τους περιγράφονται πολλές έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας και διάφορες εφαρμογές αυτών.