Ελεύθερες ομάδες και αναδιπλώσεις - Μάλτσης, Αθανάσιος (2021)
Πρόκειται για μια εργασία στην οποία ορίζεται από την αρχή η έννοια της ελεύθερης ομάδας και η αντιστοιχία των γεννητόρων της σε λέξεις του αλφάβητου. Έτσι, έπεται η δημιουργία κλάσεων ισοδυναμίας που αποτελούνται από τις λέξεις που δημιουργεί η εκάστοτε ελεύθερη ομάδα. Επίσης, δίνεται η έννοια της ανηγμένης λέξης και πως αυτή μπορεί να αναπαρασταθεί σε γράφους. Επιπλέον, ορίζονται έννοιες για τις ομάδες οι οποίες είναι βασικές και στην συνέχεια θα μας βοηθήσουν ώστε να αποδείξουμε σημαντικά θεωρήματα και να λειτουργήσουμε με λογική της εφαρμογές που θα δημιουργήσουμε. Στη συνέχεια, δίνεται ο ορισμός μιας διαδικασίας που ονομάζεται αναδίπλωση και με την οποία θα μπορούμε να βρούμε ισομορφισμούς ανάμεσα στις ελεύθερες ομάδες. Επίσης, θα μπορέσουμε να αναπαραστήσουμε τους γεννήτορες κάθε ομάδας και μετά από αναδιπλώσεις να βρούμε έναν ισομορφισμό μεταξύ ομάδας και ελεύθερης ομάδας. Σκοπός όλων αυτών είναι να κατασκευάσουμε εφαρμογές των αναδιπλώσεων μέσω των οποίων θα μπορούμε: 1) Να υπολογίσουμε την τάξη κάθε ελεύθερης ομάδας. 2) Να ελέγξουμε αν κάποιο στοιχείο ανήκει ή όχι στην ελεύθερη ομάδα, 3) Να βρούμε αν η ελεύθερη ομάδα έχει πεπερασμένο δείκτη στην ισόμορφη (απλούστερη) ελεύθερη ομάδα. 4) Να διαπιστώσουμε αν η ελεύθερη ομάδα είναι κανονική υποομάδα της ισόμορφης ελεύθερης ομάδας. Τέλος, με μια ακόμα εφαρμογή που αναλύεται, μπορούμε να ελέγξουμε αν ο παραγόμενος γράφος είναι κάλυμμα, και αν όχι περιγράφουμε την διαδικασία με την οποία μπορούμε να παράξουμε το κάλυμμα του γράφου.