Θέματα στη φασματική θεωρία γραφημάτων
Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται ως μοντέλα διακριτών φαινομένων και δικτύων. Η μελέτη τους έχει εφαρμογές σε πολλές περιοχές των μαθηματικών (θεωρία ομάδων, γεωμετρίας, πιθανότητες), φυσικής (δίκτυα, κυκλώματα), υπολογιστών (θεωρία αλγορίθμων) και αλλού. Η ιδέα είναι να μελετήσουμε τα γραφήματα χρησιμ...
Saved in:
| Main Author: | |
|---|---|
| Other Authors: | |
| Language: | el_GR |
| Published: |
2021
|
| Subjects: | |
| Online Access: | http://hdl.handle.net/11610/21851 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Summary: | Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται ως μοντέλα διακριτών φαινομένων και δικτύων. Η μελέτη τους έχει εφαρμογές σε πολλές περιοχές των μαθηματικών (θεωρία ομάδων, γεωμετρίας, πιθανότητες), φυσικής (δίκτυα, κυκλώματα), υπολογιστών (θεωρία αλγορίθμων) και αλλού. Η ιδέα είναι να μελετήσουμε τα γραφήματα χρησιμοποιώντας αλγεβρικά εργαλεία. Υπάρχει ένας πίνακας που κωδικοποιεί την συνδυαστική δομή του γραφήματος, ο πίνακας γειτονίας. Ουσιαστικά ο πίνακας αυτός χαρακτηρίζει το γράφημα. Σ΄αυτήν την
εργασία εξετάζουμε κατά πόσο οι φασματικές ιδιότητες του πίνακα αντικατοπτρίζουν τις
συνδυαστικές ιδιότητες του γραφήματος. Το πρώτο παράδειγμα είναι οι τυχαίοι περίπατοι στο γράφημα (που είναι μια διαδικασία Markov), πως συμπεριφέρονται σε μεγάλα χρονικά διαστήματα, πότε επιστρέφουν στο σημείο εκκίνησης. Πέρα απ’ αυτό οι ιδοτιμές του πίνακα χρησιμοποιούνται στο να χαρακτηρίσουν της ιδιότητες συνεκτικότητας του πίνακα και, κατ’ επέκταση, την μέτρηση των δέντρων στα γραφήματα.
Ο υπολογισμός των ιδιοτιμών του γραφήματος είναι γενικά μια δύσκολη διαδικασία αλλά περιέχει στην θεωρία της χρήσιμα πολυώνυμα. Δίνουμε παραδείγματα τέτοιων υπολογισμών. Επίσης θα δώσουμε και αλγορίθμους οι οποίοι χρησιμοποιούν υπολογιστικά την θεωρητική προσέγγιση. Γενικά είναι εκπληκτικό κατά πόσο οι ιδιοτιμές του πίνακα
γειτονίας (καθώς και άλλων σχετικών πινάκων) δίνει πληροφορίες για το γράφημα. |
|---|