Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας

Στην εργασία αυτή Θα παρουσιάσουμε τις τρείς αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας,το οποίο δηλώνει ότι οποιοδήποτε μιγαδικό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μία μιγαδική θέση μηδενισμού. Η πρώτη απόδειξη οφείλεται στον Gauss και εντοπίζεται στην διασταύρωση της θεωρίας αριθμών και της θε...

Πλήρης περιγραφή

Αποθηκεύτηκε σε:

Λεπτομέρειες βιβλιογραφικής εγγραφής
Κύριος συγγραφέας:	Γραμμενοπούλου, Ελευθερία
Άλλοι συγγραφείς:	Ανούσης, Μιχαήλ
Γλώσσα:	el_GR
Δημοσίευση:	2019
Θέματα:	proof theorem algebra Θεμελειώδες Θεώρημα Αλγεβρα Fundamental theorem of algebra (URL: http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh96011677)
Διαθέσιμο Online:	https://vsmart.lib.aegean.gr/webopac/List.csp?SearchT1=%CE%A4%CF%81%CE%B5%CE%AF%CF%82+%CE%B1%CF%80%CE%BF%CE%B4%CE%B5%CE%AF%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CF%84%CE%BF%CF%85+%CE%B8%CE%B5%CE%BC%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CF%8E%CE%B4%CE%BF%CF%85%CF%82+%CE%B8%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82&Index1=Keywordsbib&Database=1&NumberToRetrieve=50&OpacLanguage=gre&SearchMethod=Find_1&SearchTerm1=%CE%A4%CF%81%CE%B5%CE%AF%CF%82+%CE%B1%CF%80%CE%BF%CE%B4%CE%B5%CE%AF%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CF%84%CE%BF%CF%85+%CE%B8%CE%B5%CE%BC%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CF%8E%CE%B4%CE%BF%CF%85%CF%82+%CE%B8%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82&Profile=Default&PreviousList=Start&PageType=Start&EncodedRequest=221EC502DFF780rD9C5DA4R1B402&WebPageNr=1&WebAction=NewSearch&StartValue=1&RowRepeat=0&MyChannelCount= http://hdl.handle.net/11610/19636
Ετικέτες:	Προσθήκη ετικέτας Δεν υπάρχουν, Καταχωρήστε ετικέτα πρώτοι!

_version_	1828460665407275008
author	Γραμμενοπούλου, Ελευθερία
author2	Ανούσης, Μιχαήλ
author_facet	Ανούσης, Μιχαήλ Γραμμενοπούλου, Ελευθερία
author_sort	Γραμμενοπούλου, Ελευθερία
collection	DSpace
description	Στην εργασία αυτή Θα παρουσιάσουμε τις τρείς αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας,το οποίο δηλώνει ότι οποιοδήποτε μιγαδικό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μία μιγαδική θέση μηδενισμού. Η πρώτη απόδειξη οφείλεται στον Gauss και εντοπίζεται στην διασταύρωση της θεωρίας αριθμών και της θεωρίας εξισώσεων,αλλά και σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Ωστόσο η πρώτη απόδειξη είναι άμεση και εξαρτάται μόνο από ότι θεωρείται στοιχειώδη μαθηματικά. Η δεύτερη απόδειξη στηρίζεται στα μιγαδικά πολυώνυμα και είναι άμεση συνέπεια ενός γενικότερου θεωρήματος που ονομάζεται Θεώρημα του Liouville. Το συγκεκριμένο θεώρημα αποδεικνύει ότι μια ακέραια συνάρτηση φραγμένη στο μιγαδικό επίπεδο πρέπει να είναι σταθερή. Κατά συνέπεια θα αναφερθούμε αρχικά στους μιγαδικούς αριθμούς και στα μιγαδικά πολυώνυμα και στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε την δεύτερη απόδειξη του θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας, η οποία βασίζεται στην Μιγαδική Ανάλυση και προκύπτει από το θεώρημα του Liouville. Επίσης, θα αναφερθούμε και στο θεώρημα του Cauchy, απαραίτητο για την απόδειξη του θεωρήματος του Liouville. Τέλος, η τρίτη απόδειξη εξαρτάται από το γεγονός ότι πραγματικά πολυώνυμα περιττού βαθμού έχουν πραγματικές θέσεις μηδενισμού και από το ότι, δοθέντος ενός ανάγωγου πολυωνύμου f (x) υπεράνω ενός σώματος F, είναι δυνατόν να κατασκευαστεί μια επέκταση σώματος Ε υπεράνω του F, ούτως ώστε το f (x) να έχει τουλάχιστον μία θέση μηδενισμού στο Ε . Ακόμη στηρίζεται σε τέσσερα βασικά λήμματα η απόδειξή της, που θα αναφέρουμε στην συνέχεια. Ο Gauss είναι αυτός που δημοσίευσε την πρώτη απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας το 1799. Η δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων δευτέρου βαθμού και ο τύπος επίλυσης τους ήταν γνωστός στους Βαβυλώνιους περί τα 3600 χρόνια νωρίτερα.
id	oai:hellanicus.lib.aegean.gr:11610-19636
institution	Hellanicus
language	el_GR
publishDate	2019
record_format	dspace
spelling	oai:hellanicus.lib.aegean.gr:11610-196362022-07-15T08:33:58Z Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας Γραμμενοπούλου, Ελευθερία Ανούσης, Μιχαήλ proof theorem algebra Θεμελειώδες Θεώρημα Αλγεβρα Fundamental theorem of algebra (URL: http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh96011677) Στην εργασία αυτή Θα παρουσιάσουμε τις τρείς αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας,το οποίο δηλώνει ότι οποιοδήποτε μιγαδικό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μία μιγαδική θέση μηδενισμού. Η πρώτη απόδειξη οφείλεται στον Gauss και εντοπίζεται στην διασταύρωση της θεωρίας αριθμών και της θεωρίας εξισώσεων,αλλά και σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Ωστόσο η πρώτη απόδειξη είναι άμεση και εξαρτάται μόνο από ότι θεωρείται στοιχειώδη μαθηματικά. Η δεύτερη απόδειξη στηρίζεται στα μιγαδικά πολυώνυμα και είναι άμεση συνέπεια ενός γενικότερου θεωρήματος που ονομάζεται Θεώρημα του Liouville. Το συγκεκριμένο θεώρημα αποδεικνύει ότι μια ακέραια συνάρτηση φραγμένη στο μιγαδικό επίπεδο πρέπει να είναι σταθερή. Κατά συνέπεια θα αναφερθούμε αρχικά στους μιγαδικούς αριθμούς και στα μιγαδικά πολυώνυμα και στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε την δεύτερη απόδειξη του θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας, η οποία βασίζεται στην Μιγαδική Ανάλυση και προκύπτει από το θεώρημα του Liouville. Επίσης, θα αναφερθούμε και στο θεώρημα του Cauchy, απαραίτητο για την απόδειξη του θεωρήματος του Liouville. Τέλος, η τρίτη απόδειξη εξαρτάται από το γεγονός ότι πραγματικά πολυώνυμα περιττού βαθμού έχουν πραγματικές θέσεις μηδενισμού και από το ότι, δοθέντος ενός ανάγωγου πολυωνύμου f (x) υπεράνω ενός σώματος F, είναι δυνατόν να κατασκευαστεί μια επέκταση σώματος Ε υπεράνω του F, ούτως ώστε το f (x) να έχει τουλάχιστον μία θέση μηδενισμού στο Ε . Ακόμη στηρίζεται σε τέσσερα βασικά λήμματα η απόδειξή της, που θα αναφέρουμε στην συνέχεια. Ο Gauss είναι αυτός που δημοσίευσε την πρώτη απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας το 1799. Η δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων δευτέρου βαθμού και ο τύπος επίλυσης τους ήταν γνωστός στους Βαβυλώνιους περί τα 3600 χρόνια νωρίτερα. 2019-11-19T08:38:55Z 2019-11-19T08:38:55Z 2016-10-19 https://vsmart.lib.aegean.gr/webopac/List.csp?SearchT1=%CE%A4%CF%81%CE%B5%CE%AF%CF%82+%CE%B1%CF%80%CE%BF%CE%B4%CE%B5%CE%AF%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CF%84%CE%BF%CF%85+%CE%B8%CE%B5%CE%BC%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CF%8E%CE%B4%CE%BF%CF%85%CF%82+%CE%B8%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82&Index1=Keywordsbib&Database=1&NumberToRetrieve=50&OpacLanguage=gre&SearchMethod=Find_1&SearchTerm1=%CE%A4%CF%81%CE%B5%CE%AF%CF%82+%CE%B1%CF%80%CE%BF%CE%B4%CE%B5%CE%AF%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CF%84%CE%BF%CF%85+%CE%B8%CE%B5%CE%BC%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CF%8E%CE%B4%CE%BF%CF%85%CF%82+%CE%B8%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82&Profile=Default&PreviousList=Start&PageType=Start&EncodedRequest=221EC502DFF780rD9C5DA4R1B402&WebPageNr=1&WebAction=NewSearch&StartValue=1&RowRepeat=0&MyChannelCount= http://hdl.handle.net/11610/19636 el_GR Default License 24 σ. application/pdf Σάμος
spellingShingle	proof theorem algebra Θεμελειώδες Θεώρημα Αλγεβρα Fundamental theorem of algebra (URL: http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh96011677) Γραμμενοπούλου, Ελευθερία Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας
title	Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας
title_full	Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας
title_fullStr	Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας
title_full_unstemmed	Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας
title_short	Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας
title_sort	τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας
topic	proof theorem algebra Θεμελειώδες Θεώρημα Αλγεβρα Fundamental theorem of algebra (URL: http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh96011677)
url	https://vsmart.lib.aegean.gr/webopac/List.csp?SearchT1=%CE%A4%CF%81%CE%B5%CE%AF%CF%82+%CE%B1%CF%80%CE%BF%CE%B4%CE%B5%CE%AF%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CF%84%CE%BF%CF%85+%CE%B8%CE%B5%CE%BC%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CF%8E%CE%B4%CE%BF%CF%85%CF%82+%CE%B8%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82&Index1=Keywordsbib&Database=1&NumberToRetrieve=50&OpacLanguage=gre&SearchMethod=Find_1&SearchTerm1=%CE%A4%CF%81%CE%B5%CE%AF%CF%82+%CE%B1%CF%80%CE%BF%CE%B4%CE%B5%CE%AF%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82+%CF%84%CE%BF%CF%85+%CE%B8%CE%B5%CE%BC%CE%B5%CE%BB%CE%B9%CF%8E%CE%B4%CE%BF%CF%85%CF%82+%CE%B8%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82&Profile=Default&PreviousList=Start&PageType=Start&EncodedRequest=221EC502DFF780rD9C5DA4R1B402&WebPageNr=1&WebAction=NewSearch&StartValue=1&RowRepeat=0&MyChannelCount= http://hdl.handle.net/11610/19636
work_keys_str_mv	AT grammenopouloueleutheria treisapodeixeistouthemeliōdoustheōrēmatostēsalgebras

Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας

Παρόμοια τεκμήρια