Τοπικοποίηση δακτυλίων και προτύπων - Αγγελιδάκη, Δάφνη (2019)
Υπάρχει μια βασική διαδικασία με την οποία κατασκευάζουμε τους ρητούς από τους α- κέραιους. Η διαδικασία αυτή μας επιτρέπει να αντιστρέψουμε όλους τους μη-μηδενικούς ακέραιους και να διατηρήσουμε την δομή του δακτυλίου. Θα παρουσιάσουμε μια γενί- κευση αυτής της διαδικασίας σε δακτύλιους που δεν είναι απαραίτητα ακέραιες περιο- χές. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται τοπικοποίηση και θα την παρουσιάσουμε σε όλη την γενικότητά της για αντιμεταθετικούς δακτυλίους. Επίσης θα παρουσιάσουμε και μια διαδικασία τοπικοποίησης για πρότυπα και θα εξετάσουμε τις ιδιότητές της. Θα δώσουμε τους βασικούς ορισμούς των δακτυλίων και των ιδεωδών και θα παρουσιάσουμε τις βασικές τους ιδιότητες. Επίσης αναφέρουμε τις ακριβείς ακολουθίες προτύπων με τις βασικές τους παρατηρήσεις και τα ελεύθερα προβολικά πρότυπα με τα απαραίτητα θεωρήματα τους. Επιπλέον μελετούμε τα τανυστικά γινόμενα τόσο για τυχαίους όσο και για αντιμεταθετικούς δακτύλιους μαζί με τις ιδιότητες των γεννητόρων τους. Συνεχίζουμε με την τοπικοποίηση δακτυλίων για αντιμεταθετικούς δακτύλιους όπου παρουσιάζουμε αναλυτικά τα βήματα κατασκευής. Η κατασκευή αυτή γενικεύει την κατασκευή του σώματος των κλασμάτων μίας ακέραιας περιοχής. Η τοπικοποίηση(localization) είναι μία μέθοδος της Άλγεβρας η οποία μας βοηθά να επιλύσουμε προβλήματα που αφορούν δακτύλιους και πρότυπα με μια πιο απλουστευμένη μορφή. Τέλος επεκτείνουμε την έννοια της τοπικοποίησης στα πρότυπα, όπου παρουσιάζουμε αναλυτικά την διαδικασία κατασκευής R_s προτύπων. Σε κάθε κεφάλαιο υπάρχουν λυμένες ασκήσεις-παρατηρήσεις για την καλύτερη δυνατή κατανόηση των εννοιών των οποίων μελετήσαμε και παρουσιάσουμε.