Η διάσταση Hausdorff του χαοτικού ελκυστή Lorenz : - Συμεωνίδου, Σοφία (2008)
Η παρούσα εργασία έχει ως αντικείμενο μελέτης τη διάσταση Hausdorff για τον χαοτικό ελκυστή Lorenz. Για λόγους πληρότητας θα πρέπει να παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες της διάστασης Hausdorff, καθώς και την έννοια των fractals, αφού το διάγραμμα φάσεων του ελκυστή Lorenz είναι ένα fractal. Στα μαθηματικά υπάρχει ποικιλία διαστάσεων για τα fractals. Εμείς όμως θα επικεντρωθού-με σε αυτή του Hausdorff -η οποία βασίζεται σε μία κατασκευή του Κ. Καραθεοδωρή- και ο λόγος αυτής της επιλογής, για την περιγραφή της διάστασης του ελκυστή Lorenz, είναι επειδή είναι η πιο παλιά και ίσως η πιο σημαντική. Γενικότερα, για τη μελέτη των fractals η οικειότητα με το μέτρο και τη διάσταση Hausdorff είναι απαραίτητη. Το 1ο Κεφάλαιο αποτελεί καθαρά μία εισαγωγή στην έννοια των fractals. Σκοπός μας είναι να δώσουμε μία "γεύση" στον αναγνώστη για το τι εννοούμε όταν λέμε πως ένα σύνολο είναι fractal και όχι να εντρυφήσουμε επί του συγκεκριμένου κλάδου των Μαθηματικών. Στο 2ο Κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με το μέτρο και τη διάσταση Hausdorff, με την οποία όπως είπαμε παραπάνω, θα υπολογίσουμε την διάσταση του χαοτικού ελκυστή Lorenz. Στο 3ο Κεφάλαιο, το οποίο αποτελεί και το κυρίως μέρος της εργασίας, θα ασχοληθούμε με το σύστημα του Lorenz. Πρόκειται για ένα μη γραμμικό σύστημα τριών διαφορικών εξισώσεων που εξαρτάται από τρεις πραγματικές και θετικές παραμέτρους. Ο Lorenz ανακάλυψε πως οι λύσεις των εξισώσεών του, δεν εγκαθίσταντο ποτέ σε σημεία ισορροπίας ή σε κάποια περιοδική κατάσταση, αλλά αντίθετα ταλαντεύονταν με ακανόνιστο, μη περιοδικό τρόπο. Ένα απλό ντετερμινιστικό σύστημα δηλαδή, μπορεί να καταλήξει σε απρόβλεπτη κατάσταση, με παντελή έλλειψη περιοδικότητας. Αυτή η συμπεριφορά ονομάζεται χαοτική. Όμως, ο Lorenz έδειξε πως στο σύστημα υπάρχει τάξη, πως το χάος δηλαδή έχει τάξη. Όταν σχεδίασε τις λύσεις του συστήματός του στις τρεις διαστάσεις ανακάλυψε πως εγκαθίσταντο σε ένα σύνολο σημείων που μοιάζει με πεταλούδα. Πώς όμως αυτά τα δύο (τάξη και χάος) μπορούν να συμβιβαστούν; Η χαοτική, τυχαία συμπεριφορά είναι προβλέψιμη; Αν συμβαίνει αυτό, σημαίνει ότι πίσω από το χάος κρύβεται ένα είδος τάξης, πίσω από το τυχαίο κρύβεται ο ντετερμινισμός. Ο όρος "Χάος" δηλαδή, δε σημαίνει το ίδιο με την παραδοσιακή λέξη χάος που είναι συνώνυμο της αταξίας. Τάξη και χάος αποδεικνύονται οι δύο πλευρές του ίδιου νομίσματος, όσον αφορά την επιστήμη. Πώς όμως ο ντετερμινισμός γεννά πολυπλοκότητα; Η απάντηση βρίσκεται στην ιδιότητα που ονομάζεται «Ευαίσθητη Εξάρτηση από τις Αρχικές Συνθήκες». Στο Παράρτημα Α παραθέτουμε την απόδειξη ότι το s-διάστατο μέτρο Hausdorff είναι μέτρο. Στο Παράρτημα Β παρουσιάζουμε κάποια βασικά στοιχεία της θεωρίας των γραμμικών απεικονίσεων, τα οποία θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμα στο 3ο Κεφάλαιο. Τέλος, στο Παράρτημα Γ παρουσιάζουμε προσομοιώσεις του συστήματος Lorenz στο Mathematica.