Περιοδικές λύσεις για το σύστημα Van der Pol : - Παπαβαρνάβα, Όλγα (2007)
Στην εργασία αυτή ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη περιοδικών λύσεων για συστήματα διαφορικών εξισώσεων.Στο πρώτο κεφάλαιο θα αναφέρουμε κάποιες βασικές έννοιες , ορισμούς και αποτελέσματα στα οποία βασίζεται η μεθοδολογία που θα χρησιμοποιήσουμε Η μεθοδολογία αυτή, η οποία παρουσιάζεται στο δεύτερο κεφάλαιο βασίζεται στην εφαρμογή του θεωρήματος Poincar-Bendixson, με χρήση του οποίου είναι δυνατόν να αποδειχθεί η ύπαρξη οριακών κύκλων για μια μεγάλη και σημαντική κλάση εξισώσεων.Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε μια όμορφη ωστόσο απλή προσεγγιστική μέθοδο για τον προσδιορισμό του πλάτους της ταλάντωσης που περιγράφεται από τον οριακό κύκλο. Η μέθοδος αυτή μας παρέχει επιπλέον ένα κριτήριο για την ευστάθεια του οριακού κύκλου.Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο έχουμε μια σύντομη παρουσίαση αποτελεσμάτων από αριθμητικές εξομοιώσεις για την συμπεριφορά του οριακού κύκλου της εξίσωσης van der Pol. Με χρήση του MATHEMATICA, κατασκευάσαμε τον οριακό κύκλο της εξίσωσης αυτής για διάφορες τιμές της παραμέτρου ε, όπως και τις αντίστοιχες λύσεις. Πραγματοποιήσαμε αντίστοιχες δοκιμές για το σύστημα Rayleigh. Πιστεύουμε ότι παρουσιάζουν ενδιαφέρον τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τις εξομοιώσεις αυτές σε σχέση με την αποτελεσματικότητα της μεθόδου προσέγγισης του πλάτους του οριακού κύκλου και με τα οποία ολοκληρώνουμε την παρουσίαση αυτής της εργασίας. Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε μια όμορφη ωστόσο απλή προσεγγιστική μέθοδο για τον προσδιορισμό του πλάτους της ταλάντωσης που περιγράφεται από τον οριακό κύκλο. Η μέθοδος αυτή μας παρέχει επιπλέον ένα κριτήριο για την ευστάθεια του οριακού κύκλου.