Μη γραμμική εξίσωση Schrodinger : - Γεροντή, Αλεξάνδρα (2007)
Η μαθηματική μοντελοποίηση φυσικών φαινομένων τα οποία εξελίσσονται με το χρόνο οδηγεί στη διατύπωση δυναμικών διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συμπληρώνονται με κατάλληλες αρχικές και συνοριακές συνθήκες ώστε το μαθηματικό πρόβλημα που προκύπτει να έχει μοναδική λύση. Η αναλυτική λύση αυτών των προβλημάτων συνήθως δεν είναι διαθέσιμη, για το λόγο αυτό παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον η κατασκευή προσεγγιστικών λύσεων με αριθμητικές μεθόδους Μια κατηγορία μεθόδων για την κατασκευή προσεγγίσεων της λύσης ενός προβλήματος διαφορετικών εξισώσεων είναι οι <<μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών >>. Στις μεθόδους αυτές προσεγγίζονται οι παράγωγοι της διαφορικής εξίσωσης με πηλίκα διαφορών (πεπερασμένες διαφορές )τα οποία προκύπτουν με κατάλληλη του τύπου του Taylor πάνω στους κόμβους μιας διαμέρισης του πεδίου ορισμού. Έτσι η μέθοδος κατασκευάζει προσεγγίσεις των τιμών της λύσης του προβλήματος πάνω σε αυτούς τους κόμβους. Η μαθηματική ανάλυση των μεθόδων των πεπερασμένων διαφορών στοχεύει ,την εξασφάλιση της σύγκλισης των παραγόμενων προσεγγίσεων στην άγνωστη λύση της διαφορικής εξίσωσης. Η σύγκλιση συνήθως προκύπτει από το συνδυασμό ενός αποτελέσματος συνέπειας και ενός αποτελέσματος ευστάθειας Η συνέπεια ασχολείται με την εκτίμηση του σφάλματος που προκύπτει αν στην διατύπωση της αριθμητικής μεθόδου η προσέγγιση της λύσης αντικατασταθεί από την ίδια τη λύση του προβλήματος. Η ευστάθεια εξετάζει πως επηρεάζονται οι προσεγγίσεις της λύσης που παράγει η αριθμητική μέθοδος από την παρουσία διαφόρων πηγών σφάλματος. Η σύγκλιση της αριθμητικής μεθόδου εξασφαλίζεται συνήθως με την απόδειξη μιας εκτίμησης για το σφάλμα της, της οποίας ένα σημαντικό χαρακτηριστικό είναι η τάξη σύγκλισης που είναι ένα μέτρο του πόσο γρήγορα συγκλίνει η μέθοδος όταν η πυκνότητα των κόμβων αυξάνεται.Μια από τις διαφορικές εξισώσεις, για την οποία υπάρχει μεγάλο ενδιαφέρον, είναι η μη γραμμική εξίσωση Schrdinger. Μια από τις πολλές εφαρμογές της είναι, ότι περιγράφει τη διάδοση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος κατά μήκος μιας οπτικής ίνας. Οι οπτικές ίνες στις μέρες μας, αποτελούν ιδανικούς φορείς πληροφορίας σε τηλεπικοινωνιακά συστήματα μεγάλων αποστάσεων, γιατί οι παλμοί διαδίδονται χωρίς παραμόρφωση κατά μήκος αυτών Στην παρούσα εργασία στο πρώτο κεφάλαιο παράγεται η εξίσωση Schrdinger από τη μαθηματική μοντελοποίηση της διάδοσης ενός παλμού κατά μήκος μιας οπτικής ίνας. Στο δεύτερο κεφάλαιο διατυπώνεται ένα πρόβλημα αρχικών τιμών και συνοριακών συνθηκών για τη μη γραμμική εξίσωση Schrdinger και αποδεικνύονται διάφορες ιδιότητες της λύσης του. Στο τρίτο και το τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται δύο αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών για τη μη γραμμική εξίσωση Schrdinger. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα. Σε όλα τα αριθμητικά σχήματα που περιγράφονται στην εργασία γίνεται μελέτη της συνέπειας, της ευστάθειας και αποδεικνύονται εκτιμήσεις για το σφάλμα προσέγγισης.