Επίλυση εξίσωσης Einstein του στο κενό : - Στυλιανάκης, Χαράλαμπος (2010)
Η παρούσα πτυχιακή εργασία μελετά δύο φυσικά φαινόμενα που συνοψίζονται στα ακόλουθα δύο ερωτήματα: α) Γιατί όταν μια ακτίνα φωτός περνά κοντά από τον ήλιο αυτή αποκλίνει από την ευθύγραμμη πορεία της; β) Γιατί το περιήλιο του Ερμή μετά την ολοκλήρωση μιας πλήρους περιστροφής (που είναι μια ελλειψοειδής καμπύλη) γύρω από τον ήλιο είναι μετατοπισμένο κατά γωνία φ; Τα ερωτήματα αυτά μπορούν να απαντηθούν χρησιμοποιώντας τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, αφού η Νευτώνεια Μηχανική αποτυγχάνει να τα ερμηνεύσει. Το μαθηματικό υπόβαθρο της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι η Ρημάνια Γεωμετρία οπότε τα κεφάλαια Ι και ΙΙ αποτελούν μια εισαγωγή στις βασικές έννοιες και θεωρήματα που αναφέρονται στην πολλαπλότητα, τον εφαπτόμενος και συνεφαπτόμενο χώρο μιας πολλαπλότητας, τα διανυσματικά και τανυστικά πεδία, τις ροές, τις παραγώγους του Lie κατά μήκος της ροής που παράγεται από διανυσματικό πεδίο, τις διαφορικές μορφές και βασικές ιδιότητές τους, το μετρικό τανυστή, την παράλληλη μεταφορά διανυσμάτων, τη συναλλοίωτη παράγωγο και συνοχή, την καμπυλότητα του Riemann και τη στρέψη, τις Levi-Civita συνοχές και γεωδαισιακές. Στο κεφάλαιο ΙΙΙ, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των μεταβολών για τη δράση Hilbert-Einstein αναπαράγουμε την εξίσωση του Einstein στο κενό. Μια λύση της εξίσωσης του Einstein στο κενό είναι η γενική ισοτροπική η οποία στη στατική περίπτωση αποτελεί τη λύση του Schwarzschild. Μελετώντας αναλυτικά τις γεωμετρικές ιδιότητες αυτής της μοναδικής συμμετρικά σφαιρικής λύσης απαντάμε διαδοχικά τα ερωτήματα που θέσαμε στην εισαγωγή. Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα δίνεται με την καμπύλωση του χώρου που δημιουργείται από τον ήλιο, οπότε το φωτόνιο (σωματίδιο χωρίς μάζα) αποκλίνει από την ευθύγραμμη πορεία του. Για το δεύτερο ερώτημα υπολογίζεται αναλυτικά η τιμή της γωνίας φ συναρτήσει της μάζας που δημιουργεί το βαρυντικό πεδίο και της απόστασης από αυτή.