Μελέτη υπερβολικών ομάδων : - Τσετσέκου, Μαρία (Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών, 2007)
Στην άλγεβρα, ένα σημαντικό εργαλείο στην μελέτη της δομής μιας ομάδας είναι η παράσταση της ομάδας. «Οπτικοποιούμε» την ομάδα με το Cayley γράφημά της, το οποίο κατασκευάζεται με βάση μία παράστασης της ομάδας (κάθε παράσταση της ομάδας έχει και διαφορετικό Cayley γράφημα). Το Cayley γράφημα της ομάδας είναι ένας γεωδαισιακός μετρικός χώρος με τη μετρική της λέξης. Λόγω του ότι οι γεωδαισιακές στα Cayley γραφήματα των υπερβολικών ομάδων έχουν όμοιες γεωμετρικές ιδιότητες με τις γραμμές του υπερβολικού επιπέδου, δίνεται μια περιγραφή του μοντέλου του Poincar και κάποιες βασικές ιδιότητες του υπερβολικού επιπέδου. Επιπλέον, δίνονται κάποιοι ορισμοί για τις γεωμετρικές ιδιότητες τριγώνων και γεωδαισιακών στον υπερβολικό χώρο. Αποδεικνύεται πως, η ύπαρξη αυτών των ιδιοτήτων, γεωμετρικών και αλγεβρικών, στο Cayley γράφημα μιας ομάδας είναι ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε αυτή η ομάδα να είναι υπερβολική. Επιπλέον, μελετάμε την συμπεριφορά των τόξων που αντιστοιχούν στα στοιχεία μιας άπειρης κυκλικής υποομάδας μιας υπερβολικής ομάδας μέσα στο Cayley γράφημά της, τα οποία σχηματίζουν κάτι σαν γεωδαισιακές, τις quasigeodesics. Επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας σε υπερβολικές ομάδες με άπειρη τάξη, με στόχο να ορίσουμε μια τοπολογία στο Cayley γράφημά τους Χ. Μελετάμε ακολουθίες στοιχείων του Χ, υπολογίζοντας το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ στοιχείων των ακολουθιών αυτών και μεταξύ διαφορετικών ακολουθιών. Ορίζουμε το σύνορο Χ του Cayley γραφήματος, το οποίο αποτελείται από τα σημεία σύγκλισης των κλάσεων ισοδυναμίας ακολουθιών που το εσωτερικό τους γινόμενο απειρίζεται. Τέλος, προτείνουμε μια βάση για τοπολογία, η οποία αποτελείται από τις γνωστές μας ανοιχτές μπάλες και ένα καινούργιο ανοιχτό σύνολο, που ορίζεται για κάθε ένα σημείο του συνόρου και εξαρτάται από έναν θετικό αριθμό. Έτσι, προκύπτει μια συμπαγοποίηση του Χ, όταν αυτός είναι πλήρης και συμπαγής.