Εφαρμογές στις στοχαστικές διαδικασίες : - Χατζηχριστοδούλου, Άγγελος Θ. (2014)
Στην παρούσα πτυχιακή εργασία μελετούμε διάφορες εφαρμογές στις Στοχαστικές Διαδικασίες και δίνουμε έμφαση σε σημαντικά παραδείγματα που συνδέονται άμεσα με την καθημερινότητά μας. Αρχικά σε ένα εισαγωγικό κεφάλαιο υπενθυμίζουμε βασικές Μαθηματικές έννοιες από την θεωρία των Πιθανοτήτων καθώς επίσης και ορισμένα βασικά στοιχεία των Γεννητριών Συναρτήσεων, γιατί έτσι θα μπορέσουμε να εισάγουμε έννοιες οι οποίες είναι πολύ χρήσιμες στις εφαρμογές και δεν μπορούν αλλιώς να περιγραφούν. Στο επόμενο κεφάλαιο, εισάγουμε την ακριβή έννοια των Στοχαστικών Ανελίξεων, βάση των οποίων πλέον θα μπορούμε να περιγράψουμε φαινόμενα τα οποία εξελίσσονται σε σχέση με το χρόνο ή το χώρο. Βασικό μέρος του κεφαλαίου αυτού είναι οι Διαδικασίες Γεννήσεων και Θανάτου, όπου θα μελετήσουμε τη στοχαστική συμπεριφορά διάφορων πληθυσμών. Στο τρίτο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με τους Τυχαίους Περιπάτους. Θα δούμε γιατί οι Τυχαίοι Περίπατοι είναι χρήσιμοι για τη μοντελοποίηση διάφορων φαινομένων. Ακολούθως, θα δούμε τη χρήση τους στην ανάλυση της αναμονής και της καταστροφής συστημάτων. Τέλος παρουσιάζουμε εκτενώς το Θεώρημα Blackwell. Στο τέταρτο κεφάλαιο, μελετούμε το πώς μέσω των τυχερών παιχνιδιών αναπτύχθηκε η θεωρία των martingales. Τα martingales, αποτελούν μια ειδική και ενδιαφέρουσα κλάση των Στοχαστικών Διαδικασιών. Θα δούμε τον καθοριστικό τους ρόλο στην σύγχρονη θεωρία των Πιθανοτήτων. Θα διατυπώσουμε βασικούς ορισμούς και θα δούμε δύο βασικά τους παρακλάδια τα supermartingale και submartingale. Στο πέμπτο κεφάλαιο, θα δούμε μια σπουδαία εφαρμογή των Στοχαστικών Διαδικασιών στον τομέα της βιολογίας, την μαθηματική θεωρία των Επιδημικών Διαδικασιών. Συγκεκριμένα θα εξετάσουμε μόνο μερικά από τα βασικά χαρακτηριστικά των Διαδικασιών αυτών, αφού πρώτα δώσουμε έμφαση εν συντομία στις βασικές ιδέες που εμπλέκονται στην επιδημιολογία των μεταδοτικών ασθενειών. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο, θα εστιάσουμε την προσοχή μας στις Διακριτές Κλαδωτές Διαδικασίες που είναι μία ειδική κατηγορία αλυσίδων Markov. Τέλος θα μελετήσουμε την περίπτωση κατά την οποία ο χρόνος γέννησης ακολουθεί μια συνεχή κατανομή.