Δυναμικά συστήματα και μη γραμμικές ταλαντώσεις : - Γεροντίδης, Θεόδωρος (2013)
Στην δεκαετία του 1920 ο B.Van der Pol (1889-1959) εισήγαγε την ομώνυμη εξίσωση για να περιγράψει ταλαντώσεις ηλεκτρικού κυκλώματος με τρίοδο.Είναι μια δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση, μη γραμμική, με κυβική μη γραμμικότητα.Ο ταλαντωτής Van der Pol είναι τυπικό- κλασσικό παράδειγμα αυτοσυντηρούμενου ταλαντωτή και θεωρείται πλέον χρησιμότατο μαθηματικό μοντέλο για τη μελέτη και άλλων, πολύπλοκων και εξεζητημένων συστημάτων. Στην εργασία αυτή θα ασχοληθούμε με την εξίσωση Van der Pol , θεωρώντας την κυρίως ως δυναμικό σύστημα και εστιάζουμε το ενδιαφέρον μας στην «τελική» συμπεριφορά του. Περιγράφουμε την εξίσωση Van der Pol και την εξάρτηση της παραμέτρου τριβής από την ποσότητα φορτίου. Μελετάμε το ισοδύναμο δυναμικό σύστημα, τα σημεία ισορροπίας του, τη μορφή των τροχιών και θέτουμε και απαντούμε τρία βασικά ζητήματα: α) την ύπαρξη, β) την μοναδικότητα και γ) την ευστάθεια του οριακού κύκλου Van der Pol. Η ύπαρξη και μοναδικότητα του οριακού κύκλου επιτυγχάνεται στα πλαίσια της θεωρίας Lienard, μια γενικότερη κατηγορία συναρτήσεων στην οποία ανήκει και η Van der Pol. Για την ευστάθεια χρησιμοποιούνται οι τομές και η απεικόνιση Poincare και η μέθοδος μέσου όρου (averaging method) Κ.Β.Μ. Επίσης προσδιορίζεται η ακτίνα του οριακού κύκλου για μικρές τιμές της παραμέτρου και ο ρυθμός προσέγγισης γειτονικών τροχιών στον οριακό κύκλο. Τέλος, μελετάμε μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου, την επίδραση της στη μορφή του κύκλου και των τροχιών, καθώς και την εμφάνιση και μελέτη των ταλαντώσεων χαλάρωσης. Παρατίθενται επίσης εξομοιώσεις του συστήματος Van der Pol στο χώρο φάσεων, για διάφορες τιμές της παραμέτρου.Ακόμη παρουσιάζουμε έναν από τους πολλούς τρόπους παραγωγής της εξισώσεως Van der Pol. Προτιμήθηκε ο κλασσικός-ιστορικός τρόπος. Επίσης αποδεικνύουμε την ισοδυναμία των μορφών της εξισώσεως Van der Pol που χρησιμοποιήθηκαν στην εργασία.