Διαφορικές εξισώσεις και δυναμικά συστήματα : - Σιώη, Βασιλική (2013)
Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η μελέτη του δυναμικού δύο κλάσεων διανυσματικών πεδίων με κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, των συντηρητικών και των συστημάτων κλίσεως αντίστοιχα. Οι δύο αυτοί τύποι των διανυσματικών πεδίων έχουν κοινές ιδιότητες που ορίζονται στα όρια των συναρτήσεων δυναμικού αλλά οι ροές τους παρουσιάζουν διαφορετική μορφή. Οι βασικές τους διαφορές εντοπίζονται στις τροχιές των συστημάτων. Στα συντηρητικά διανυσματικά πεδία παρουσιάζονται συνήθως ομοκλινικές και περιοδικές τροχιές εκτός βέβαια των περιπτώσεων διαταραχών όπου μπορεί να εμφανιστεί κάποια ετεροκλινική σύνδεση ανάμεσα σε δύο σημεία ισορροπίας. Στα πεδία κλίσεων δεν παρουσιάζονται ποτέ ομοκλινικές ή περιοδικές τροχιές αλλά το βασικό χαρακτηριστικό τους είναι ότι τα οριακά σύνολα των τροχιών είναι απαραίτητα μέρος της ισορροπίας. Στα προαναφερόμενα διανυσματικά πεδία τα σημεία ισορροπίας του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων που τα απαρτίζουν είναι μεμονωμένα και θα μας απασχολήσουν κυρίως τα σημεία ισορροπίας που δεν είναι εκφυλισμένα. Η μελέτη των μη εκφυλισμένων κρίσιμών σημείων των πραγματικών συναρτήσεων αποτελεί αντικείμενο της Θεωρίας του Morse ενώ τα διανυσματικά πεδία κλίσεων παίζουν καθοριστικό ρόλο στη μελέτη της Θεωρίας της Καταστροφής. Αρχικά θα κάνουμε μια εισαγωγή στις βαθμωτές αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις και στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στις ιδιότητες των συστημάτων διαφορικών εξισώσεων στο επίπεδο όπου και θα παραθέσουμε ορισμούς και διάφορα θεωρήματα για να μπορέσουμε να κάνουμε μια εμπεριστατωμένη ανάλυση των δύο προαναφερόμενων διανυσματικών πεδίων.