Θεωρία διακλαδώσεων : - Συμεωνίδου, Σοφία (Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών, 2006)
Το αντικείμενο μελέτης αυτής της εργασίας αφορά στις έννοιες της Ευστάθειας και της Διακλάδωσης και το κατά πόσο αυτές οι έννοιες συνδέονται μεταξύ τους, σε βαθμωτές διαφορικές εξισώσεις και σε συστήματα (2*2) διαφορικών εξισώσεων. Θα δούμε πως όταν ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων υφίσταται διακλάδωση επηρεάζεται η ευστάθειά του. Γι’ αυτόν ακριβώς το λόγο λέμε πως οι έννοιες Ευστάθεια-Διακλάδωση είναι άρρηκτα συνδεδεμένες μεταξύ τους. Θα λέμε πως ένα σύστημα είναι ευσταθές, όταν αφού έχει υποστεί μικρές μεταβολές στις αρχικές του συνθήκες, παραμένει κοντά στην αρχική του κατάσταση, διαφορετικά θα είναι ασταθές. Επίσης, ένα σύστημα που εξαρτάται από κάποια πραγματική παράμετρο, για να υφίσταται διακλάδωση θα πρέπει όταν μεταβάλλουμε την παράμετρο αυτή να μεταπίπτει σε διαφορετική από την αρχική του κατάσταση, για μια κρίσιμη τιμή της παραμέτρου. Μελετούμε βαθμωτές διαφορικές εξισώσεις της μορφής x'=f(x) και καταλήγουμε πως για να αντιληφθούμε την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας πρέπει να κάνουμε χρήση είτε της ανάλυσης προσήμου είτε του θεωρήματος που αφορά στο πρόσημο της πρώτης παραγώγου (στο εκάστοτε κρίσιμο σημείο της εξίσωσης). Επίσης, μελετούμε το είδος της ευστάθειας στα συστήματα της μορφής για καθεμιά από τις περιπτώσεις όπου οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι πραγματικές, ίσες ή άνισες, ομόσημες ή ετερόσημες, μιγαδικές ή γνήσια φανταστικές. Στην περίπτωση των μη γραμμικών συστημάτων λόγω του ότι δεν γνωρίζουμε τον τρόπο επίλυσής τους, μέσω του θεωρήματος Γραμμικοποίησης τα μετατρέψαμε σε γραμμικά συστήματα και εργαζόμαστε με τον τρόπο που γνωρίζουμε για τα γραμμικά συστήματα. Αναλύουμε κάποιες πολύ γνωστές διακλαδώσεις όπως αυτή της Saddle-Node , της Transcritical ,της Pitchfork (στις βαθμωτές εξισώσεις) αλλά και της Hopf (στα μη γραμμικά συστήματα). Όσον αφορά τη διακλάδωση μελετούμε ένα μοντέλο θηρευτή-θηράματος, όπου είδαμε πως καθώς η παράμετρος του συστήματος διέρχεται από το σημείο διακλάδωσης, η κατάσταση ισορροπίας του μεταβαίνει από κάποια συνήθως σπειροειδή τροχιά σε μια νέα περιοδική τροχιά.