Βάσεις για διανυσματικούς χώρους στη ZF θεωρία συνόλων : πτυχιακή εργασία
Το Αξίωμα της Επιλογής (AC) λόγω του μη κατασκευαστικού του χαρακτήρα έχει δεχθεί έντονη κριτική από πολλούς μαθηματικούς. Παρόλη την διαμάχη γύρω από το αξίωμα αυτό, σήμερα είναι αποδεκτό και χρησιμοποιείται από τους περισσότερους μαθηματικούς. Υπάρχουν πολλές σημαντικές προτάσεις σχεδόν σε όλους τ...
Αποθηκεύτηκε σε:
| Κύριος συγγραφέας: | |
|---|---|
| Συγγραφή απο Οργανισμό/Αρχή: | |
| Μορφή: | Thesis Βιβλίο |
| Γλώσσα: | Greek |
| Δημοσίευση: |
2013.
|
| Θέματα: | |
| Διαθέσιμο Online: | http://hdl.handle.net/11610/8053 |
| Ετικέτες: |
Προσθήκη ετικέτας
Δεν υπάρχουν, Καταχωρήστε ετικέτα πρώτοι!
|
| Περίληψη: | Το Αξίωμα της Επιλογής (AC) λόγω του μη κατασκευαστικού του χαρακτήρα έχει δεχθεί έντονη κριτική από πολλούς μαθηματικούς. Παρόλη την διαμάχη γύρω από το αξίωμα αυτό, σήμερα είναι αποδεκτό και χρησιμοποιείται από τους περισσότερους μαθηματικούς. Υπάρχουν πολλές σημαντικές προτάσεις σχεδόν σε όλους τους κλάδους των θεωρητικών μαθηματικών, οι οποίες είναι ισοδύναμες είτε με το AC είτε με κάποια γνήσια ασθενέστερη μορφή του. Στην εργασία αυτή επικεντρωνόμαστε στις καταστροφές που προκύπτουν στην θεωρία των διανυσματικών χώρων άπειρης διάστασης, στην ZF θεωρία συνόλων, χωρίς το AC. Πέρα από την παρουσίαση των πολύ σημαντικών και γνωστών αποτελεσμάτων του A. Blass (Για κάθε σώμα F, κάθε διανυσματικός χώρος V επί του F έχει τουλάχιστον μια βάση, είναι ισοδύναμο με το AC) και του J.D. Halpern (Το Θεώρημα του Πρώτου Ιδεώδους συνεπάγεται ότι για κάθε διανυσματικό χώρο V, δύο οποιεσδήποτε βάσεις του είναι ισοπληθικές), παρουσιάζουμε δύο πρόσφατα αποτελέσματα των P. Howard και E. Ταχτσή, καθώς και της M. Morillon σχετικά με την συνολοθεωρητική ισχύ της ύπαρξης βάσεων επί συγκεκριμένων σωμάτων F. Μελετούμε επίσης, πρόσφατα αποτελέσματα σχετικά με την ύπαρξη μη μηδενικών γραμμικών συναρτησοειδών στην ZF θεωρία συνόλων χωρίς το AC. Μεταξύ άλλων, δίνουμε την απόδειξη του αποτελέσματος των P. Howard και Ε. Ταχτσή, ότι αν κάθε άλγεβρα του Boole έχει ένα πρώτο ιδεώδες, τότε κάθε διανυσματικός χώρος επί οποιουδήποτε πεπερασμένου σώματος έχει ένα μη μηδενικό γραμμικό συναρτησοειδές. Τέλος, παρουσιάζουμε την απόδειξη του P. Howard, ότι στην ZFA θεωρία συνόλων, η ύπαρξη ενός σώματος F, έτσι ώστε σε κάθε διανυσματικό χώρο V επί του F, κάθε σύνολο που παράγει τον V περιέχει μια βάση συνεπάγεται το AC. The Axiom of Choice due to its non constructive nature has received strong criticism among many mathematicians. In spite of the controversy around this axiom, it is accepted and used by most mathematicians today. Many important propositions in pure mathematics are equivalent to either AC or some strictly weaker form of AC. In this diploma thesis we study the disasters in infinite dimensional vector spaces in ZF, without the AC. Besides the very important results of A. Blass (for every field F, every vector space V over F has at least a basis equivalent to AC) and of J. D. Halpern (Boolean Prime Ideal Theorem implies that for every vector space V, any two bases of V have the same cardinality) we present some recent results of P. Howard and E. Tachtsis, as well as of M. Morillon, related to the hierarchy of various choice principles and the existence of a basis over specific fields F. We also study recent results related to the existence of non-null linear forms in ZF without AC. Among other results, we present P. Howard and E. Tachtsis' result, namely that BPI implies the existence of a non-null linear form in every vector space over a finite field F. Finally, we give the proof of P. Howard's result, that, in ZFA, the existence of a field F such that in every vector space V over F, every generating set of V contains a basis, implies AC. |
|---|---|
| Περιγραφή τεκμηρίου: | Μέλη της εξεταστικής επιτροπής: Ελευθέριος Ταχτσής, Μιχαήλ Ανούσης, Κυριάκος Κερεμίδης |
| Φυσική περιγραφή: | v, 56 σ. ; 30 εκ. |
| Βιβλιογραφία: | Βιβλιογραφία: σ. 55-56. |
| Πρόσβαση: | Διάθεση πλήρους κειμένου - Ελεύθερη πρόσβαση. |