Ελλειπτικά ολοκληρώματα και ο αριθμό-γεωμετρικός μέσος : - Ελευθερίου, Άννα (2013)
Ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων είναι από τα πιο βασικά και δύσκολα προβλήματα στα μαθηματικά. Ο υπολογισμός τους είναι κεντρικό θέμα στην γεωμετρία (υπολογισμός μηκών, εμβαδών όγκων), στις διαφορικές εξισώσεις, στην θεωρία πιθανοτήτων αλλά και σε πολλούς άλλους κλάδους όπου χρειάζεται ναβρούμε την συνάρτηση από την παράγωγό της. Το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στον υπολογισμό του μήκους έλλειψης είναι ιδιαίτερα δύσκολο. Αυτού τουείδους τα ολοκληρώματα (καθώς και οι βασικές παραλλαγές τους) ονομάζονται ελλειπτικά ολοκληρώματα και ο υπολογισμός τους είναι ιδιαίτερα δύσκολος.Σ' αυτήν την εργασία δίνουμε τον ορισμό του αριθμο-γεωμετρικού μέσου του Gauss. Ο αριθμός αυτός φτιάχνεται με μια διαδοχική πλοκή του αριθμητικού και του γεωμετρικού μέσου δυο αριθμών. Αρχικά ορίστηκε από τον Gauss γιατί εμφανίστηκε στους υπολογισμούς ελλειπτικών ολοκληρωμάτων. Παρουσιάζουμε λοιπόν τους υπολογισμούς αυτούς που μας δίνουν έναν κλειστό αποτέλεσμα για κάποια ελλειπτικά ολοκληρώματα. Επιπλέον παρουσιάζουμε την γενική θεωρία των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων. Δίνουμε τις βασικές ισότητες που συνδέουν κάποια ολοκληρώματα μεταξύ τους. Πρέπει να σημειωθεί ότι η θεωρία αυτή είναι κλασική και έχει αναπτυχθεί από πολλούς μαθηματικούς τα τελευταία 300 χρόνια.Επιπλέον, μετά από την βασική θεωρία, παρουσιάζουμε διάφορες αλγοριθμικές εφαρμογές του αριθμο-γεωμετρικού μέσου. Μια απ' αυτές είναι προσεγγίσεις του π. Επιπλέον δίνουμεπροσεγγιστικά αποτελέσματα για τον υπολογισμό της περιμέτρου της έλλειψης, χρησιμοποιώντας τον αριθμο-γεωμετρικό μέσο καθώς και τις υπεργεωμετρικές σειρές του Gauss.