Monotone and generalized monotone bifunctions and their application to operator theory : - Alizadeh, Mohammad Hossein (2012)
Το θέμα της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη των μονότονων και γενικευμένα R, όπου C είναι υποσύνολο μονότονων "δισυναρτήσεων", δηλαδή συναρτήσεων F:CxC του χώρου Banach X, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση f(x,y)+f(y,x)<=0. Κύριος σκοπός είναι η συσχέτιση των ιδιοτήτων των μονότονων δισυναρτήσεων με αντίστοιχες ιδιότητες των πλειότιμων μονότονων τελεστών από το X στο X*. Συγκεκριμένα, κάθε μονότονος τελεστής μπορεί να συσχετιστεί με ένα είδος υποδιαφορικού μιας κατάλληλης δισυνάρτησης. Αποδεικνύοντας ιδιότητες για δισυναρτήσεις, συνάγονται αντίστοιχες ιδιότητες για τελεστές. Για παράδειγμα, στη διατριβή εισάγεται η έννοια της σ-μονότονης δισυνάρτησης. Αποδεικνύεται ότι κάθε τέτοια δισυνάρτηση είναι τοπικά φραγμένη στο πεδίο ορισμού της. Ως συμπέρασμα, εξάγεται η αντίστοιχη ιδιότητα για όλους τους σ-μονότονους τελεστές, γενικεύοντας πρόσφατα αποτελέσματα των Iusem, Kassay, Sosa, στις άπειρες διαστάσεις. Μάλιστα, αποδεικνύεται ότι οι δισυναρτήσεις συμπεριφέρονται καλύτερα από τους τελεστές. Για παράδειγμα, ένας μεγιστικά μονότονος τελεστής δεν είναι ποτέ τοπικά φραγμένος στο σύνορο του περδίου ορισμού του, ενώ μια δισυνάρτηση είναι πάντοτε φραγμένη ακόμα και στο σύνορο, αν το πεδίο ορισμού είναι πολυεδρικό. Άλλα αποτελέσματα είναι: η γενίκευση του θεωρήματος του L. Vesely σε σ-μονότονους τελεστές, η απόδειξη της ύπαρξης λύσης για προβλήματα ισορροπίας κάτω από ασθενείς συνθήκες, και η γενίκευση ενός αποτελέσματος που αφορά τους πιεστικόυς (coercive) τελεστές, σε σχεδόν πιεστικούς. Στο τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής εισάγεται ο μετασχηματισμός Fitzpatrick για δισυναρτήσεις: για κάθε δισυνάρτηση που είναι κυρτή και κάτω ημισυνεχής ως προς την δεύτερη μεταβλητή, ο μετασχηματισμός Fitzpatrick είναι μία κυρτή και κάτω ημισυνεχής συνάρτηση (ως συνάρτηση δύο μεταβλητών) ορισμένη στο XxX*. Αποδεικνύεται ότι σε περίπτωση που η δισυνάρτηση προκύπτει από μεγιστικά μονότονο τελεστή, τότε ο μετασχηματισμός Fitzpatrick της δισυνάρτησης ισούται με τη συνάρτηση Fitzpatrick του τελεστή. Ο μετασχηματισμός Fitzpatrick χρησιμοποιείται στο τελευταίο κεφάλαιο για να εξαχθούν αποτελέσματα που ισχυροποιούν κατά πολύ κάποια γνωστά αποτελέσματα που αφορούν στη σχέση της μεγιστικότητας μιας μονότονης δισυνάρτησης με τη μεγιστικότητα του αντίστοιχου τελεστή, σε διάφορα αποτελέσματα των Blum-Oettli, και στη συνχέτιση της κυκλικής μονοτονίας δισυναρτήσεων και τελεστών με τη συνάρτηση Fitzpatrick.