Εισαγωγή στις αριθμητικές φασματικές μεθόδους : - Θεοδωροπούλου, Ρεβέκα-Ειρήνη (2009)
Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να συλλέξει όλα τα απαραίτητα συστατικά για την κατανόηση των φασματικών μεθόδων για χρόνο-εξαρτημένα προβλήματα και συγκεκριμένα για προβλήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων. Συνεπώς, η παραγωγή των φασματικών μεθόδων επηρεάζεται κυρίως από μεθόδους πεπερασμένων διαφορών. χρησιμοποιούνται στην ανάλυση του αριθμητικού σφάλματος φάσης. Τυπικές μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιούν ένα τοπικό πλέγμα σημείων για τον υπολογισμό της παραγώγου στο δοσμένο σημείο ενώ υψηλότερης τάξης μέθοδοι πετυχαίνονται με χρήση ενός ευρύτερου πλέγματος, για παράδειγμα λαμβάνουν υπόψη περισσότερα σημεία. Η φασματική μέθοδος Fourier εξασφαλίζεται με χρήση όλων των σημείων του πεδίου ορισμού. Στο δεύτερο κεφάλαιο, συζητάμε τις προσεγγίσεις τριγωνομετρικών πολυωνύμων, για ομαλές συναρτήσεις και την αντίστοιχη προσεγγιστική θεωρία για τη συνεχή και τη διακριτή περίπτωση. Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε φασματικές μεθόδους Fourier χρησιμοποιώντας Galerkin και Collocation προσεγγίσεις και μελετάμε τη ευστάθεια αυτών για υπερβολικές και παραβολικές εξισώσεις. Επιπλέον, παρουσιάζουμε τρόπους σταθεροποίησης αυτών των μεθόδων μέσω της υπέρ ιξώδους μεθόδου και του φιλτραρίσματος. Το τέταρτο κεφάλαιο χαρακτηρίζεται από τη συζήτηση για τις οικογένειες των ορθογώνιων πολυωνύμων, οι οποίες είναι οι χαρακτηριστικές λύσεις των προβλημάτων Sturm-Liouville. Εστιάζουμε στα Legendre και Chebyshev πολυώνυμα, τα οποία είναι κατάλληλα για την παρουσίαση συναρτήσεων σε πεπερασμένα διαστήματα ενδιαφέροντος. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται οι ιδιότητες των πολυωνύμων Jacobi και οι σχετικές αναδρομικές σχέσεις. Πολλές χρήσιμες φόρμουλες βρίσκονται σε αυτό το κεφάλαιο. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο, συζητάμε τις συνεχείς και διακριτές πολυωνυμικές επεκτάσεις, οι οποίες βασίζονται στα πολυώνυμα Jacobi και ιδιαίτερα στα Legendre και Chebyshev. Παρουσιάζουμε τους ολοκληρωτικούς τύπους του Gauss και τα διαφορετικά σημεία, στα οποία είναι ακριβής ο καθένας από αυτούς.