Η ύπαρξη μετρικής Riemann : - Μπιτσίμης, Εμμανουήλ (2016)
Η διαφορική γεωμετρία και οι διαφορίσιμες πολλαπλότητες είναι γενίκευση της στοιχειώδους διαφορικής γεωμετρίας και της θεωρίας επιφανειών. Η μετρική Riemann είναι το εργαλείο το οποίο μας δίνει την δυνατότητα να κάνουμε γεωμετρία σε μία διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Στόχος της παρούσας πτυχιακής εργασίας είναι η απόδειξη ύπαρξης μετρικής Riemman σε κάθε διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Αρχικά αναλύουμε την έννοια της διαφορίσιμης πολλαπλότητας, και δίνονται παραδείγματα διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων. Δίνεται η έννοια της C άπειρο διαφορίσιμης συνάρτησης μεταξύ διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων. Ορίζονται εφαπτόμενα διανύσματα σε ένα σημείο μιας διαφορίσιμης πολλαπλότητας, δείχνουμε την δομή διανυσματικού χώρου στο εφαπτόμενο επίπεδο και επεκτείνουμε την έννοια των εφαπτόμενων διανυσμάτων σε διαφορίσιμα διανυσματικά πεδία. Στη συνέχεια ορίζουμε και μελετάμε τον διαμερισμό της μονάδας σε μία διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Σε αυτήν την παράγραφο δίνονται κάποιοι ορισμοί και αποδεικνύονται κάποια θεωρήματα από την τοπολογία που βοηθούν στην απόδειξη της ύπαρξης μετρικής Riemann σε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Στο τελευταίο μέρος, δίνεται ο ορισμός της μετρικής Riemann η οποία γενικεύει το εσωτερικό γινόμενο κατά διαφορίσιμο τρόπο σε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Στην συνέχεια αποδεικνύουμε το θεώρημα ύπαρξης τουλάχιστον μιας μετρικής Riemann σε κάθε διαφορίσιμη πολλαπλότητα.