Αξιωματική θεμελίωση στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη και στα "Θεμέλια της Γεωμετρίας" του David Hilbert : - Φρέρης, Λουκάς (2015)
Το πρώτο ολοκληρωμένο αξιωματικό σύστημα παρουσιάζεται περίπου το 300 π.Χ. από τον Ευκλείδη. Στο έργο του, με τον τίτλο ΣΤΟΙΧΕΙΑ, ο Ευκλείδης, παρουσιάζει όλη τη μαθηματική γνώση της εποχής του με μια αξιωματική δομή. Για πρώτη φορά στην ιστορία, η γνώση και ειδικότερα τα μαθηματικά, θεμελιώνονται συγκροτημένα με έναν αξιωματικό/παραγωγικό τρόπο, με αξιώματα (προτάσεις που δεν αποδεικνύονται), ορισμούς και προτάσεις/θεωρήματα που αποδεικνύονται με λογικούς συλλογισμούς. Στο πέρασμα των αιώνων, από τους μετέπειτα σχολιαστές των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ, αρκετές ατέλειες των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ διορθώθηκαν, πολλά κενά καλύφθηκαν, κάποιες ασάφειες διευκρινίστηκαν. Δόθηκαν ορισμοί πιο κατανοητοί, καλύφθηκαν κενά σε αποδείξεις, διατυπώθηκαν επακριβώς ιδιότητες που ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε σιωπηλά με τη βοήθεια μόνο της εποπτείας. Γνωστές είναι και οι προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος των παραλλήλων του Ευκλείδη, που μετά από 2,5 χιλιάδες χρόνια περίπου διαπιστώνεται ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί, και πολύ ορθά ο Ευκλείδης του είχε δώσει θέση πρότασης που δεν μπορεί να αποδειχθεί. Όλες οι προσπάθειες αποσκοπούσαν στη βελτίωση του αξιωματικού συστήματος των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ του Ευκλείδη και την αποφυγή της εποπτείας ως μέσο απόδειξης των ιδιοτήτων. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο και μετά την ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών, ο γερμανός μαθηματικός David Hilbert αναλαμβάνει, 2500 χρόνια περίπου µετά την έκδοση των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ, να συγκροτήσει ένα γεωµετρικό αξιωµατικό σύστηµα στο πνεύµα του Ευκλείδη, σύμφωνα όμως με τις προδιαγραφές και τις απαιτήσεις του 20ου αιώνα. Το έργο αυτό το ονομάζει ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ. Το βιβλίο του Hilbert, ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ, εκδίδεται για πρώτη φορά το 1899 και αποτελεί το πιο ολοκληρωμένο αξιωματικό σύστημα Ευκλείδειας Γεωµετρίας από την εποχή του Ευκλείδη. Ο Hibert θέτει νέες απαιτήσεις στο αξιωματικό σύστημα (συνέπεια, ανεξαρτησία, πληρότητα) και απομακρύνει τη θεμελίωση των εννοιών και των αξιωμάτων από την εποπτεία. Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο να παρουσιάσει την αξιωµατική θεµελίωση της Γεωµετρίας στα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλείδη και τα ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ του David Hilbert. Στο πρώτο από τα δύο µέρη της εργασίας θα αναφερθούμε στην αξιωµατική θεµελίωση της Γεωµετρίας από τον Ευκλείδη, όπως αυτή έχει καταγραφεί στο έργο του ΣΤΟΙΧΕΙΑ. Στην πρώτη ενότητα θα παρουσιάσουμε µια εισαγωγή στη ζωή και στο έργο του Ευκλείδη, δίνοντας ταυτόχρονα µια σύντοµη περιγραφή της δοµής και του περιεχοµένου των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Στη συνέχεια θα δώσουμε αναλυτικά τους 23 όρους (ορισµοί), τα 5 αιτήµατα και οι 9 κοινές έννοιες που περιέχονται στο 1ο βιβλίο των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Στο τέλος του πρώτου μέρους θα μελετήσουμε τον τρόπο που χρησιμοποιείται η έννοια της ισότητας στα ΣΤΟΙΧΕΙΑ συγκριτικά µε τις έννοιες ““ισότητα συμπλήρωσης”” και ““ισότητα διαμέρισης”” που εισάγονται από τον David Hilbert στο έργο του ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ. Στο δεύτερο µέρος θα ασχοληθούμε µε την αξιωµατική θεµελίωση της Γεωµετρίας στα ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ του Hilbert. Στην αρχή θα παρουσιάσουμε συνοπτικά τη ζωή και το έργο του Hilbert. Ταυτόχρονα, θα κάνουµε µια ιστορική αναδροµή στις κριτικές που δέχθηκαν τα ΣΤΟΙΧΕΙΑ από τους σχολιαστές, ήδη από τα µέσα του 16ου αιώνα, δηµιουργώντας ουσιαστικά το πλαίσιο, µέσα στο οποίο Hilbert δίνει στη δηµοσιότητα τα ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ. Τέλος θα παρουσιάσουμε αναλυτικά τις 5 οµάδες αξιωµάτων (Τα αξιώματα συνδέσεως (ή θέσεως), τα αξιώματα διάταξης, τα αξιώματα ισότητας, το αξίωμα παραλληλίας και το διπλό αξίωμα συνέχειας) στις οποίες ο Hilbert χωρίζει τα αξιώματα που συγκροτούν το αξιωµατικό του σύστηµα.