Αυτομορφισμοί ελευθέρων ομάδων και train tracks : - Τρούμπουλος, Στυλιανός (2016)
Οι μαθηματικοί M. Bestvina και M. Handel εισήγαγαν μια μεγάλη κλάση εξωτερικών αυτομορφισμών της ελεύθερης ομάδας με πεπερασμένη βάση γεννητόρων Fn, οι οποίοι ονομάζονται μη αναγώγιμοι εξωτερικοί αυτομορφισμοί. Αποδείξαν ότι για κάθε μη αναγώγιμο εξωτερικό αυτομορφισμό της Fn μπορεί να κατασκευαστεί αλγοριθμικά ένα συνεκτικό γράφημα G καθώς και να οριστεί μια απεικόνιση $f : G → G$ με την ιδιότητα ότι για κάθε ακμή e του γραφήματος όλα τα μονοπάτια $f%5Ek(e)$ για $k ≥ 1 $ είναι ανηγμένα. Δηλαδή δεν θα περιέχεται καμία τετριμμένη σχέση. Η απεικόνιση αυτή ονομάζεται \textlatin{Train-Track}. Θέλοντας να παρουσιάσουμε τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάζουμε αυτά τα γραφήματα και αυτές τις απεικονίσεις, εισάγουμε εκτενώς όλες τις απαραίτητες έννοιες οι οποίες απαιτούνται για την εφαρμογή του αλγορίθμου. Αναλυτικότερα, στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας περιγράφουμε κάποια στοιχεία της γραμμικής άλγεβρας (π.χ Ομοιότητα πινάκων, Αναγωγιμότητα πινάκων) καθώς και το σημαντικό θεώρημα Perron-Frobenius που αφορά μη αναγώγιμους, μη- αρνητικούς πίνακες. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η μέθοδος του Nielsen για τους αυτομορφισμούς Fn και έπειτα στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι συνδυαστικές απεικονίσεις γραφημάτων. Έχοντας δει αναλυτικά αυτές τις έννοιες, στο κεφάλαιο 4 εισάγουμε την έννοια του τοπολογικού αντιπρόσωπου ενός αυτομορφισμού. Τελικώς, εισάγωντας την αναγωγιμότητα απεικονίσεων και αναλύωντας τον πίνακα μετάβασης απεικόνισης, μας δίνεται η δυνατότητα να ορίσουμε τις Train-Track απεικονίσεις και επιπλέον σε συνδυασμό με αυτή την αναγωγιμότητα και την ιδιοτιμή Perron-Frobenius να ορίσουμε επιπλέον μεταχηματισμούς απεικονίσεων που χρησιμοποιούνται στην απόδειξη του Θεωρήματος M. Bestvina, M. Handel αλλά και στην αλγοριθμική κατασκευή των Train-Tracks. Στο τελευταίο κεφάλαιο, παρουσιάζεται αναλυτικά ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η κατασκευή τους.