Τρείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας : - Γραμμενοπούλου, Ελευθερία (2016)
Στην εργασία αυτή Θα παρουσιάσουμε τις τρείς αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας,το οποίο δηλώνει ότι οποιοδήποτε μιγαδικό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μία μιγαδική θέση μηδενισμού. Η πρώτη απόδειξη οφείλεται στον Gauss και εντοπίζεται στην διασταύρωση της θεωρίας αριθμών και της θεωρίας εξισώσεων,αλλά και σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Ωστόσο η πρώτη απόδειξη είναι άμεση και εξαρτάται μόνο από ότι θεωρείται στοιχειώδη μαθηματικά. Η δεύτερη απόδειξη στηρίζεται στα μιγαδικά πολυώνυμα και είναι άμεση συνέπεια ενός γενικότερου θεωρήματος που ονομάζεται Θεώρημα του Liouville. Το συγκεκριμένο θεώρημα αποδεικνύει ότι μια ακέραια συνάρτηση φραγμένη στο μιγαδικό επίπεδο πρέπει να είναι σταθερή. Κατά συνέπεια θα αναφερθούμε αρχικά στους μιγαδικούς αριθμούς και στα μιγαδικά πολυώνυμα και στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε την δεύτερη απόδειξη του θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας, η οποία βασίζεται στην Μιγαδική Ανάλυση και προκύπτει από το θεώρημα του Liouville. Επίσης, θα αναφερθούμε και στο θεώρημα του Cauchy, απαραίτητο για την απόδειξη του θεωρήματος του Liouville. Τέλος, η τρίτη απόδειξη εξαρτάται από το γεγονός ότι πραγματικά πολυώνυμα περιττού βαθμού έχουν πραγματικές θέσεις μηδενισμού και από το ότι, δοθέντος ενός ανάγωγου πολυωνύμου f (x) υπεράνω ενός σώματος F, είναι δυνατόν να κατασκευαστεί μια επέκταση σώματος Ε υπεράνω του F, ούτως ώστε το f (x) να έχει τουλάχιστον μία θέση μηδενισμού στο Ε . Ακόμη στηρίζεται σε τέσσερα βασικά λήμματα η απόδειξή της, που θα αναφέρουμε στην συνέχεια. Ο Gauss είναι αυτός που δημοσίευσε την πρώτη απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της ́Αλγεβρας το 1799. Η δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων δευτέρου βαθμού και ο τύπος επίλυσης τους ήταν γνωστός στους Βαβυλώνιους περί τα 3600 χρόνια νωρίτερα.