Μονοδιάστατα πλέγματα με αρμονική ή εκθετική αλληλεπίδραση : - Φύκαρη, Αικατερίνη (2015)
Στο πρώτο Κεφάλαιο μελετάμε τις ταλαντώσεις (χωρίς απόσβεση ή εξωτερικές δυνάμεις) ενός διακριτού συστήματος σημειακών μαζών που σχηματίζουν μια γραμμική αλυσίδα και αλληλεπιδρούν με δυνάμεις επανα-φοράς πανομοιότυπες με αυτές που εμφανίζονται σε αβαρή ελατήρια. Αρχικά θα επικεντρωθούμε στην ταλάντωση ενός συστήματος που αποτελείται από δύο σημειακές μάζες και στη συνέχεια από τρεις. Η γενική περίπτωση ταλάντωσης συστήματος με άπειρο αριθμό σημειακών μαζών σχετίζεται με την ταλάντωση ενός συνεχούς υλικού αφού αυτό μπορεί να θεωρηθεί (αγνοώντας την ατομική φύση της ύλης) ότι αποτελείται από ένα άπειρο πλήθος απειροελάχιστων μικρών κομματιών. Επίσης στο ίδιο Κεφάλαιο αναπαράγουμε, στο κατάλληλο όριο για το διακριτό σύστημα, την γνωστή μας κυματική εξίσωση. Αναλυτικά στην Ενότητα 1.1 επιλύεται το πρόβλημα ταλάντωσης δυο σημειακών μαζών, σε μια διάσταση, που συνδέονται με ελατήρια και τα άκρα του συστήματος διατηρούνται σταθερά (ομογενείς μηδενικές Dirichlet συνοριακές συνθήκες). Παραθέσουμε τις σημαντικές έννοιες των χαρακτηριστικών (ή κανονικών) τρόπων ταλάντωσης (normal modes)ενός σώματος και των χαρακτηριστικών (ή κανονικών) συντεταγμένων (normal coordinates)που με τη βοήθεια τους εκφράζεται αναλυτικά η λύση του προβλήματος. Στην Ενότητα 1.2 επιλύεται το ανάλογο πρόβλημα αλλά με τρεις μάζες. Η Ενότητα 1.3 μελετά το γενικό πρόβλημα ταλάντωσης Ν σημειακών μαζών όπου αποδεικνύεται ότι η λύση μας μετά από κατάλληλη αναγωγή αναπαράγει τα αποτελέσματα των περιπτώσεων για N=2 καιN=3 σημειακές μάζες. Στην Ενότητα 1.4 εξετάζουμε το πρόβλημα με την παρουσία συνοριακών συνθηκών. Στην Ενότητα 1.5 αποδεικνύεται ότι όταν το ( το οποίο αντιστοιχεί σε ένα συνεχές υλικό) τότε προκύπτει η κυματική εξίσωση. Στη συνέχεια, σχολιάζουμε τις δυνατές κυματικές λύσεις. Στην Ενότητα 2.1 παρουσιάζεται η μέθοδος του πίνακα μεταφοράς για μια απλή γραμμική αλυσίδα σημειακών μαζών. Η παρατηρούμενη απόκλιση των αποτελεσμάτων από την συμμετρία μετάθεσης για τις χαρακτηριστικές κινήσεις σχολιάζεται. Αν και οι βασικές ιδέες οφείλονται στις μελέτες των Schmidt, Hori και Asahi σημαντικές τροποποιήσεις και γενικεύσεις πρέπει να εφαρμοστούν για να χρησιμοποιηθούν σε επόμενες ενότητες. Η Ενότητα 2.2 περιλαμβάνει τη μελέτη του προβλήματος ταλάντωσης της αλυσίδας όταν διαφορετικές συνοριακές συνθήκες εφαρμοστούν στα άκρα της. Παραθέτουμε επίσης δύο εφαρμογές όταν οι σταθερές των ελατηρίων είναι ίσες.Το τρίτο Κεφάλαιο αρχίζει με μία ιστορική αναδρομή και μελετά την κίνηση σε πλέγματα και σε συνεχή συστήματα. Περιγράφεται ο δυϊκός μετασχηματισμός που εναλλάσσει τους ρόλους των σωματιδίων και των αλληλεπιδράσεων. Στην περίπτωση πλέγματος με εκθετική αλληλεπίδραση αποδεικνύεται ότι υπάρχουν ειδικές λύσεις όπως τα περιοδικά κύματα, τα σολιτόνια, και τα πολλαπλά σολιτόνια.Στην Ενότητα 3.1 μελετάται το πρόβλημα της κίνησης των μονοδιάστατων πλεγμάτων (αλυσίδες) με σωματίδια που αλληλεπιδρούν με το πλησιέστερο γειτονικό τους σωματίδιο. Στην Ενότητα 3.2 χρησιμοποιείται η μέθοδος των δυϊκών συστημάτων σύμφωνα με την οποία πραγματοποιείται η αντικατάσταση των βαρύτερων σωματιδίων από ασθενέστερα ελατήρια κατά τέτοιο τρόπο ώστε οι κανονικές συχνότητες να είναι ίδιες και στα δύο συστήματα. Στις Ενότητες 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 επιχειρείται η εύρεση αυστηρών περιοδικών λύσεων και λύσεων ενός σολιτόνιου, για πλέγμα με εκθετική αλληλεπίδραση. Τέλος, στην Ενότητα 3.7 δίνεται μια λύση για δυο σολιτόνια.