Ολοκλήρωση σε τοπικά συμπαγείς χώρους : - Ανδρέου, Θεοδώρα (2015)
Σε αυτή τη Διπλωματική εργασία θα ασχοληθούμε με τα ολοκληρώματα σε τοπικά συμπαγείς χώρους. Στο πρώτο κεφάλαιο το οποίο είναι εισαγωγικό αναφέρουμε βασικές έννοιες των τοπολογικών χώρων, τα ιαχωριστικά αξιώματα και τέλος, το Θεώρημα του Urysohn το οποίο και αποδεικνύουμε. Στο δεύτερο κεφάλαιο, δίνουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος συνεχών συναρτήσεων σε τοπικά συμπαγείς χώρους και αποδεικνύουμε βασικές ιδιότητες του. Ακολουθεί η επέκταση του ολοκληρώματος σε μία ευρύτερη κλάση συναρτήσεων η οποία είναι οι κάτω ημισυνεχείς συναρτήσεις και τέλος ορίζουμε το άνω ολοκλήρωμα. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε τον χώρο L1 αποδεικνύοντας βασικές ιδιότητες του και συνέχεια ασχολούμαστε με τον υπόχωρο του που περιέχει όλες τις αθροίσιμες συναρτήσεις. Τέλος, δίνουμε τον ορισμό των αθροίσιμων συνόλων και του μέτρου και αποδεικνύουμε βασικές ιδιότητες και προτάσεις τους. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα μετρήσιμα σύνολα. Μελετάμε πότε μία συνάρτηση είναι μετρήσιμη αναφέροντας βασικές ιδιότητες της και τέλος καταλήγουμε στις αθροίσιμες Lebesque συναρτήσεις και ορίζουμε το ολοκλήρωμα Lebesque.