Σύγκλιση αριθμητικών μεθόδων για στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις με εφαρμογή στα χρηματοοικονομικά : - Γνησίου, Μαρία (2015)
Πολλές στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις που εμφανίζονται στα χρηματοοικονομικά έχουν συντελεστές που δεν ικανοποιούν τις συνήθεις υποθέσεις, δηλαδή δεν είναι ομοιόμορφα φραγμένες και επομένως δεν είναι ολικά Lipschitz συνεχείς. Έτσι, δεν μπορούμε άμεσα να έχουμε αποτελέσματα σύγκλισης αριθμητικών σχημάτων. Συγκεκριμένα παραδείγματα είναι τα μοντέλα Heston και Cox-Ingersoll-Ross (CIR) με συντελεστές συναρτήσεις τετραγωνικής ρίζας και το μοντέλο Ait-Sahalia με ρητές συναρτήσεις. Αυτό μπορούμε να το δούμε σε απλά παραδείγματα. Όπως για παράδειγμα, το σχήμα Euler-Maruyama δεν μπορεί να συγκλίνει ούτε ισχυρά ούτε ασθενώς, όταν οι συνήθεις υποθέσεις δεν ισχύουν. Ωστόσο, νέα αποτελέσματα σύγκλισης έχουν ληφθεί πρόσφατα για πολλά τέτοια μοντέλα στα χρηματοοικονομικά, αυτά αναλύονται παρακάτω. Παρά το γεγονός ότι η σύγκλιση είναι ασθενής έχει μεγάλη σημασία στα χρηματοικονομικά, με έμφαση στον υπολογισμό αναμενόμενων συναρτησοειδών των λύσεων, και η ισχυρή σύγκλιση έχει έναν πολύ σημαντικό ρόλο στην Multi Level Monte Carlo μεθόδου, έτσι και τα μονοπάτια σύγκλισης μπορούν να εξεταστούν κατά μήκος, με τις μεθόδους που διατηρούν την θετικότητα των λύσεων.