Εισαγωγή στη θεωρία μερικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Εφαρμογή στην εξίσωση eikonal : - Πάτσης, Γεώργιος Ιω (2015)
Σε αυτή την εργασία στο κεφάλαιο I μελετάμε μεθόδους για την εύρεση ολοκληρωτικών καμπυλών και επιφανειών των διανυσματικών πεδίων. Το υλικό που παρουσιάζουμε έχει σημαντικές εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, της φυσικής και της μηχανικής. Είναι σημαντικό στην μελέτη των ημιγραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που παρουσιάζονται στο κεφάλαιο II.Στο κεφάλαιο II μελετάμε τις ημιγραμμικές και γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Η θεωρία και η μέθοδος της λύσης του προβλήματος αρχικής τιμής για αυτές τις εξισώσεις λαμβάνεται σαν άμεση εφαρμογή της θεωρίας και της μεθόδου κατασκευής των καμπυλών και επιφανειών των διανυσματικών πεδίων που παρουσιάζονται στο κεφάλαιο I.Στο κεφάλαιο III μελετάμε τη θεωρία της εξίσωσης eikonal που μια εφαρμογή της, είναι στην μαθηματική θεωρία της γεωμετρικής οπτικής. Γνωρίζουμε ότι όλες οι μορφές αυτής της εξίσωσης είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και η λύση της μπορεί να έχει ιδιομορφίες. Η θεωρία τους είναι μέρος αυτών των ιδιαιτεροτήτων των διαφορίσιμων απεικονίσεων. Μελετάμε τις λύσεις της εξίσωσης που οδηγούν σε κυλινδρικό σχήμα και τέλος παρουσιάζουμε την εύρεση ακριβών λύσεων για την δισδιάστατη εξίσωση eikonal προσεγγίζοντας την εύρεση μιας νέας λύσης με βάση μια γνωστή λύση.Τέλος στο κεφάλαιο IV μελετάμε την αριθμητική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και της εξίσωσης eikonal με παρουσίαση και εφαρμογή της Upwind μεθόδου και με χρήση του λογισμικού MATLAB. Παρουσιάζουμε και σχολιάζουμε τα αντίστοιχα διαγράμματα λύσεων των εξισώσεων για διαφορετικές σε κάθε περίπτωση αρχικές συνοριακές συνθήκες για κάθε μια από τις παραπάνω εξισώσεις.