Academic Journal
Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
| Τίτλος: | Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка |
|---|---|
| Πηγή: | Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. |
| Στοιχεία εκδότη: | Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Самарский государственный технический университет», 2014. |
| Έτος έκδοσης: | 2014 |
| Θεματικοί όροι: | ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА,ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SECOND ORDER,КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ,BOUNDARY VALUE PROBLEMS,ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ,BOUNDARY CONDITIONS,ПОРЯДОК АППРОКСИМАЦИИ,APPROXIMATION ORDER,ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,NUMERICAL METHODS,МНОГОЧЛЕНЫ ТЕЙЛОРА,TAYLOR POLYNOMIALS |
| Περιγραφή: | Using the first three terms of Taylor expansion of the required function in the approximate derivative by finite differences leads to the second order approximation of the traditional numerical quadrature method of boundary value problems for linear ordinary second order differential equations with variable coefficients. The paper shows previously proposed numerical quadrature method using tools of matrix calculus where the approximate derivative by finite differences was not used. Agreeing to above method the arbitrary number of terms of Taylor expansion for the required solution may be used when compiling the difference equation system. When using the three first terms of expansion the difference equation system coincided with the traditional system. The estimation of residuals and the order of approximation depending on the number of the used terms of Taylor expansion is given. It is theoretically shown that for the boundary value problem with boundary conditions of the first kind the approximation method order increases in direct proportion with the increasing in the number of members used in Taylor series expansion only for odd values of this number. For even values of this number the order of approximation coincides with the order of approximation for the number less by unit of the odd values. For boundary value problems with boundary conditions of the second and third kinds the order of approximation was directly proportional to the number of used terms in the Taylor series expansion of the required solution of the problem regardless of evenness. In these cases the order of approximation of the boundary points and therefore the whole problem turned out to be one unit less than the order for the inner points of the grid for the interval of integration. The method of approximation order increase at the boundary points up to the approximation order in the inner points of the grid is presented. The theoretical conclusions are confirmed by a numerical experiment for a boundary value problem with boundary conditions of the first and third kinds. Использование трёх первых членов разложения в ряд Тейлора искомой функции при аппроксимации производных конечными разностями приводит ко второму порядку аппроксимации традиционного метода численного интегрирования краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. В работе рассмотрен предложенный ранее метод численного интегрирования, использующего средства матричного исчисления, в котором аппроксимация производных конечными разностями не использовалась. Согласно указанному методу при составлении системы разностных уравнений может быть использовано произвольное число членов разложения в ряд Тейлора искомого решения задачи. При использовании трёх первых членов разложения система разностных уравнений совпадает с традиционной системой. В работе дана оценка невязки и порядка аппроксимации метода в зависимости от числа используемых членов разложения в ряд Тейлора. Теоретически показано, что для краевой задачи с граничными условиями первого рода порядок аппроксимации метода возрастает прямо пропорционально с увеличением числа используемых членов разложения в ряд Тейлора лишь для нечётных значений этого числа. Для чётных значений числа членов порядок аппроксимации совпадает с порядком аппроксимации для числа, меньшего на единицу нечётного значения. Для краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода порядок аппроксимации оказался прямо пропорциональным числу используемых членов разложения в ряд Тейлора искомого решения задачи независимо от чётности. В этих случаях порядок аппроксимации в граничных точках, следовательно, и всей задачи, оказался на единицу меньше порядка для внутренних точек сетки разбиения отрезка интегрирования. Дан метод повышения порядка аппроксимации в граничных точках до порядка аппроксимации во внутренних точках сетки. Теоретические выводы подтверждены численным экспериментом для краевой задачи с граничными условиями первого и третьего рода. |
| Τύπος εγγράφου: | Article |
| Περιγραφή αρχείου: | text/html |
| Γλώσσα: | Russian |
| ISSN: | 2310-7081 1991-8615 |
| Σύνδεσμος πρόσβασης: | http://cyberleninka.ru/article/n/otsenka-poryadka-approksimatsii-matrichnogo-metoda-chislennogo-integrirovaniya-kraevyh-zadach-dlya-lineynyh-neodnorodnyh http://cyberleninka.ru/article_covers/16029066.png |
| Αριθμός Καταχώρησης: | edsair.od......2806..4f7a3e1fa56e01e17d0c5d2e24bd256a |
| Βάση Δεδομένων: | OpenAIRE |
| ISSN: | 23107081 19918615 |
|---|