Finding Partite Hypergraphs Efficiently

Bibliographic Details
Title:	Finding Partite Hypergraphs Efficiently
Authors:	Espuña Bertomeu, Ferran
Contributors:	Lang, Richard Johannes
Source:	UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)
Publisher Information:	Universitat Politècnica de Catalunya, 2025.
Publication Year:	2025
Subject Terms:	Graph theory, partite, Àrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadística, algorithm, Combinacions (Matemàtica), Grafs, Teoria de, extremal, hypergraph, Combinations, Classificació AMS::05 Combinatorics::05C Graph theory, graph, Classificació AMS::68 Computer science::68R Discrete mathematics in relation to computer science
Description:	Los problemas de tipo Turán son un tema central en la teoría extremal de hipergrafos. Dado un k-grafo G fijo, plantean cuál es el número máximo ex(n,G) de aristas que un k-grafo con n vértices puede tener sin contener G como subgrafo. Esta tesis aborda problemas de tipo Turán degenerados, en los que ex(n,G) = o(n^k). En particular, nos centramos en las t-expansiones de una arista, denotadas K(t, ..., t) (con k partes de tamaño t). Teoremas clásicos de existencia de Kővari, Sós y Turán (para k=2) y de Erdős (para k >= 2) garantizan que los k-grafos con densidad constante contienen K(t, ..., t) (con k partes de tamaño t) como subgrafo, donde t crece con el número de vértices n (típicamente t es del orden de (log n)^(1/(k-1))). Estas demostraciones no son constructivas, y localizar eficientemente dichos subgrafos grandes es un desafío, ya que la búsqueda por fuerza bruta se vuelve superpolinomial en n. Esta tesis presenta un algoritmo determinista de tiempo polinomial que cierra esta brecha en el régimen de densidad constante. Dado un k-grafo con n vértices y m aristas, nuestro algoritmo encuentra un K(t, ..., t) (con k partes de tamaño t) donde t depende explícitamente de n, k y la densidad d=m/n^k, alcanzando el mejor orden de magnitud posible. Nuestro método generaliza el trabajo de Mubayi y Turán para el caso bipartito, utilizando una estrategia recursiva sobre grafos de enlace. Els problemes de tipus Turán són un tema central en la teoria extremal d'hipergrafs. Donat un k-graf G fix, plantegen quin és el nombre màxim ex(n,G) d'arestes que un k-graf amb n vèrtexs pot tenir sense contenir G com a subgraf. Aquesta tesi tracta problemes de tipus Turán degenerats, en els quals ex(n,G) = o(n^k). En particular, ens centrem en les t-expansions d'una aresta, denotades K(t, ..., t) (amb k parts de mida t). Teoremes clàssics d'existència de Kővari, Sós i Turán (per a k=2) i d'Erdős (per a k >= 2) garanteixen que els k-grafs amb densitat d'arestes constant contenen K(t, ..., t) (amb k parts de mida t) com a subgraf, on t creix amb el nombre de vèrtexs n (típicament t és de l'ordre de (log n)^(1/(k-1))). Aquestes demostracions no són constructives, i localitzar eficientment aquests subgrafs grans és un repte, ja que la cerca per força bruta esdevé superpolinomial en n. Aquesta tesi presenta un algorisme determinista de temps polinomial que tanca aquesta escletxa en el règim de densitat constant. Donat un k-graf amb n vèrtexs i m arestes, el nostre algorisme troba un K(t, ..., t) (amb k parts de mida t) on t depèn explícitament de n, k i la densitat d=m/n^k, assolint el millor ordre de magnitud possible. El nostre mètode generalitza el treball de Mubayi i Turán per al cas bipartit, utilitzant una estratègia recursiva sobre grafs d'enllaç. Turán-type problems are a central theme in extremal (hyper)graph theory. Given a fixed k-graph G, they ask for the maximum number ex(n,G) of edges a k-graph on n vertices can have without containing a specific subgraph G. This thesis deals with degenerate Turán-type problems, in which ex(n,G) = o(n^k). In particular, we focus on t-blowups of an edge, denoted K(t, ..., t) (with k parts of size t). Classical existence theorems by Kővari, Sós, and Turán (for k=2) and Erdős (for k >= 2) guarantee that k-graphs with constant edge density contain K(t, ..., t) (with k parts of size t) as a subgraph, where t grows with the number of vertices n (typically t is on the order of (log n)^(1/(k-1))). These proofs are non-constructive, and locating such large subgraphs efficiently is challenging as brute-force search becomes superpolynomial in n. This thesis presents a deterministic, polynomial-time algorithm that bridges this gap in the constant density regime. Given a k-graph with n vertices and m edges, our algorithm finds a K(t, ..., t) (with k parts of size t) where t explicitly depends on n, k, and the density d=m/n^k, matching the best possible order of magnitude. Our method generalizes work on the bipartite case by Mubayi and Turán, using a recursive strategy on link graphs.
Document Type:	Master thesis
File Description:	application/pdf
Language:	English
Access URL:	https://hdl.handle.net/2117/441504
Accession Number:	edsair.dedup.wf.002..fe43e2acfd0a61cc94e67869e3ca6eab
Database:	OpenAIRE

Description
Description not available.